Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.1. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Задача 4.2. В урне белых и черных шаров. Из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара будут белыми, если выемку производить: а) с возвращением; б) без возвращения.

Задача 4.3. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные – красные. Определить вероятности того, что вынутые наудачу две нити будут а) одного цвета; б) разных цветов.

Задача 4.4. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы за определенный промежуток времени первого, второго и третьего элемента соответственно равны 0,6;0,7;0,8. Найти вероятности того, что за это время безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента; г) хотя бы два элемента.

Задача 4.5. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

Задача 4.6. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равно 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

Задача 4.7. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится пять очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков; в) на двух выпавших гранях появится одно очко, а на третьей грани – другое число очков; г) на всех выпавших гранях появится разное число очков.

Задача 4.8. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

Задача 4.9. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, хотя бы один раз выпала «шестерка»?

Задача 4.10. Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятности следующих событий: а)опыт окончится до шестого бросания; б) потребуется четное число бросаний.

Задача 4.11. Числитель и знаменатель рациональной дроби написаны наудачу. Какова вероятность того, что эта дробь несократима на 5?

Задача 4.12. Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех – вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра а) в первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза.

Задача 4.13. Найти вероятность того, что наудачу взятое натуральное число, не превосходящее 100, будет делиться а) на 2 или на 5; б) и на 2, и на 5.

Задача 4.14. Три команды спортивного общества состязаются соответственно с тремя командами общества . Вероятности того, что команды общества выиграют матчи у команд общества таковы: при встрече с 0,8; с 0,4; с 0,4. Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьи во внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее?

Задача 4.15. Возле остановки останавливаются трамваи маршрутов 2,4,5,9. Для рабочего попутными являются маршруты 5 и 9. Вычислить вероятность того, что к остановке первым подойдет трамвай маршрута попутного для него номера, если по линиям маршрутов №2,4,5,9 курсируют соответственно 15,12,10,13 поездов. Протяженности маршрутов считаются одинаковыми.

Задача 4.16. Вероятность того, что в мужской обувной секции магазина очередной будет продана пара обуви 46-го размера равна 0,01. Сколько должно быть продано пар обуви в магазине, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9 можно было ожидать, что будет продана хотя бы одна пара обуви 46-го размера.

Задача 4.17. В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятность следующих событий: а) последовательно появятся шары с номерами 1,4,5; б) извлеченные шары будут иметь номера 1,4,5 независимо от того, в какой последовательности они появились.

Задача 4.18. В круг радиуса вписан правильный треугольник. Внутрь круга наудачу брошены четыре точки. Найти вероятности следующих событий: а) все четыре точки попадут внутрь треугольника; б) одна точка попадет внутрь треугольника и по одной точке попадает на каждый «малый» сегмент. Предполагается, что вероятность попадания точки в фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.

Задача 4.19. Отрезок разделен на три равные части. На этот отрезок наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что на каждую из трех частей отрезка попадет по одной точке. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Задача 4.20. Три самолета независимо друг от друга производят одиночное бомбометание по некоторой цели. Первый самолет сбрасывает 4 бомбы по 250 кг, второй – 2 бомбы по 500 кг, третий – 1 бомбу в 1000 кг. Вероятность попадания для первого самолета равна 0,2, для второго – 0,3, для третьего – 0,4. Для разрушения цели достаточно попадания одной бомбы весом не менее 500 кг или двух – весом по 250 кг. Найти вероятность разрушения цели.

Задача 4.21. При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью . Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других циклов сканирования. Найти вероятность того, что при циклах объект будет обнаружен.

Задача 4.22. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча и после игры их кладут обратно. При выборе мячей новые от использованных не отличают. Какова вероятность того, что после трех игр не останется новых мячей?

Задача 4.23. Слово «лотос», составленное из букв – карточек, рассыпано на отдельные буквы, которые тщательно перемешаны. Из них выбираются последовательно три карточки. Какова вероятность того, что при этом появится слово «сто»?

Задача 4.24. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков на первой и второй кости будет четным числом.

Задача 4.25. Вероятность попадания в первую мишень для данного стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероятность поражения второй мишени.

Задача 4.26. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Друг за другом вытаскивают три карточки и в порядке поступления записывают число. Вероятность какого события выше: “число меньше 450” или ”число больше 200”?