Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.1. На отрезок длины числовой оси наудачу поставлена точка . Найти вероятность того, что меньший из отрезков и имеет длину меньшую чем . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Задача 3.2. После бури на участке между 40-м и 55-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?

Задача 3.3. В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что:

а) точка, брошенная наудачу внутрь круга, окажется и внутри квадрата;

б) из пяти точек, брошенных наудачу внутрь круга, одна окажется внутри квадрата и по одной точке попадет на каждый сегмент.

Предполагается, что вероятность попадания точки на какую-либо часть круга зависит только от площади этой части и пропорциональна ей.

Задача 3.4. Считается равновероятным попадание реактивного снаряда в любую точку площади в . Определить вероятность попадания снаряда в мост, находящийся на этой площади, если его длина 200 м и ширина 10 м.

Задача 3.5. В круге радиуса проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более , если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?

Задача 3.6. К автобусной остановке через каждые четыре минуты подходит автобус линии и через каждые шесть минут – автобус линии . Интервал времени между моментами прихода автобуса линии и ближайшего следующего автобуса линии равновозможен в пределах от нуля до четырех минут. Определить вероятность того, что а) первый подошедший автобус окажется автобусом линии ; б) автобус какой-либо линии подойдет в течение двух минут.

Задача 3.7. Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу отрезков длиной не более можно построить треугольник?

Задача 3.8. Наудачу взяты два положительных числа и , каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение будет не больше единицы, а частное не больше двух.

Задача 3.9. Внутри квадрата с вершинами (-1,-1),(-1,0),(0,0),(0,-1) наудачу выбирается точка А(x,y). Найти вероятность события “ ”.

Задача 3.10. Внутри прямоугольника с вершинами (-1,-1),(-1,1),(1,1), (1,-1) наудачу выбирается точка M(x,y). Найти вероятность события “ ”.

Задача 3.11. Внутри квадрата с вершинами (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) наудачу выбирается точка R(x,y). Найти вероятность события “ ”.

Задача 3.12. Внутри круга с центром в точке (0;0) и радиусом 1 наудачу выбирается точка P(x,y). Найти вероятность события “ ”.

Задача 3.13. Внутри квадрата с вершинами (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) наудачу выбирается точка N(x,y). Найти вероятность события “ ”.

Задача 3.14. Наудачу взяты два положительных числа и , каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма не превышает единицы, а произведение не меньше 0,09.

Задача 3.15. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии . На плоскость наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

Задача 3.16. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.

Задача 3.17. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.

Задача 3.18. (Задача Бюффона) Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии . На плоскость наудачу бросают иглу длины . Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Задача 3.19. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

Задача 3.20. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.