7. Случайная величина и ее числовые характеристики

Для теории вероятностей характерно то, что результаты рассматриваемых экспериментов можно представить числом, причем случайный характер исхода влечет и случайность этого числа.

ПРИМЕР 7.1. Бросаются 3 игральные кости. число выпадений «шестерки» – может принимать одно из множества значений {0,1,2,3}.

ПРИМЕР 7.2. Электрическая лампочка испытывается на длительность работы. время работы. Ясно, что .

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять какое-либо числовое значение, заранее нам не известное.

Как видно из примеров по типу множества возможных значений случайные величины бывают дискретные и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями (пример 7.1).

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка (пример 7.2).

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Существует универсальный способ задания закона распределения, который годится для случайных величин любого типа: функцией распределения случайной величины называется функция , равная вероятности того, что примет значение меньше, чем число , то есть . Иногда ее называют интегральной функцией распределения.

Из определения следует: и .

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию , которую называют плотностью распределения вероятностей (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Из определения следует:

.

Одна из числовых характеристик, фиксирующая положение случайной величины на числовой оси, то есть некоторое среднее, ориентировочное значение случайной величины, около которого группируются ее возможные значения – математическое ожидание .

Математическое ожидание вычисляется:

для дискретной случайной величины;

для непрерывной случайной величины.

Дисперсия есть характеристика рассеяния, разбросанности случайной величины около ее математического ожидания.

Дисперсия вычисляется:

для дискретной случайной величины;

для непрерывной случайной величины.

Иногда дисперсию удобно вычислять по следующей формуле:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому вводится еще одна характеристика рассеяния – среднее квадратическое отклонение

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. , где ;

2. , где ;

3. ;

4. , если

взаимно независимые случайные величины.

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. , где ;

2. , где ;

3. , если

независимые случайные величины.

ПРИМЕР 7.3. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 10 рублей. Написать закон распределения случайной величины стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения : . Вероятности этих возможных значений таковы:

Напишем искомый закон распределения

	50	10	0
	0,01	0,1	0,89

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

ПРИМЕР 7.4. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

Найти: а) коэффициент ; б) найти плотность распределения ; в) найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение между 0,25 и 0,5.

Решение. а) Для непрерывной случайной величины функция непрерывна, следовательно, , то есть , откуда .

б) Плотность распределения выражается формулой:

в) Воспользуемся формулой . Тогда,

.

ПРИМЕР 7.5. Дискретная случайная величина задана законом распределения

	4	6
	0,5	0,3

Найти: а) и , зная, что ; б) дисперсию .

Решение. а) Известно, что . Тогда . По определению математического ожидания ; ; .

Закон распределения будет иметь вид:

	4	6	21
	0,5	0,3	0,2

б) Дисперсию можно вычислить двумя способами:

.

Для второго способа напишем закон распределения случайной величины :

	16	36	441
	0,5	0,3	0,2

.