Задачи для самостоятельного решения

Задача 6.1. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партии из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

Задача 6.2. В семье 5 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятности того, что среди этих детей а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков.

Задача 6.3. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,1. Найти вероятность того, что событие появится хотя бы 2 раза.

Задача 6.4. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает в среднем 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что в следующем году из 8 первых дней сентября 3 окажутся дождливыми?

Задача 6.5. Для прядения поровну смешаны белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?

Задача 6.6. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти вероятность того, что пять опытов пройдут удачно, если их общее число а) шесть; б) 120.

Задача 6.7. Отрезок разделен точкой в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки и две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Задача 6.8. На отрезок длины наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки на расстоянии, меньшем , а три – на расстоянии, большем . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Задача 6.9. Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Задача 6.10. Монета подбрасывается 10 раз. Определить погрешность локальной теоремы Лапласа при определении вероятностей следующих событий: а) «герб» выпадет 2 раза; б) «герб» выпадет 5 раз.

Задача 6.11. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) ровно 75 раз; б) не менее 75 и не более 90 раз; в) не более 74 раз; г) не менее 75 раз.

Задача 6.12. Из колоды кар (36 листов) наудачу достается одна карта, запоминается и возвращается в колоду, после чего колода перемешивается. Какова вероятность того, что при 10 повторениях опыта «пика» появится 2 раза. Сравнить результаты, полученные по локальной теореме Лапласа и формуле Бернулли.

Задача 6.13. Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытания равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.

Задача 6.14.Монета брошена раз ( велико!). Найти вероятность того, что число выпадений «герба» будет заключено между числами и .

Задача 6.15. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равно 0,8. Сколько необходимо произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?

Задача 6.16. Вероятность появления положительного результата в каждом из опытов равна 0,9. Сколько нужно провести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

Задача 6.17. Прядильщица обслуживает 100 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Задача 6.18. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор равно 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течение одной минуты позвонят 3 абонента или позвонят 4 абонента?

Задача 6.19. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку равна 0,95. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона.

Указание. Задача сводится к отысканию параметра из уравнения .

Задача 6.20. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 дм³ воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

Задача 6.21. Тигр-альбинос появляется в природе в среднем один на десять тысяч особей. В год рождается около 500 особей. Какова вероятность появиться в текущем году двум тиграм-альбиносам?

Задача 6.22. В книге, состоящей из 500 страниц, обнаружено 15 опечаток. Какова вероятность обнаружить на странице, открытой наудачу 2 опечатки, если на каждой странице в среднем 1400 знаков?

Задача 6.23. При тестировании 100 дискет Sony обнаружено 30 сбойных кластеров. Какова вероятность купить дискету с 3 сбойными кластерами, если она содержит 2847 кластеров?

Задача 6.24. Морская луна-рыба откладывает икринок, однако лишь около 10 из них становятся рыбами, остальные погибают от различных причин. Определить вероятность того, что из икринок вырастут 2 рыбы.

Задача 6.25. Коккер-спаниель при обследовании багажа на наличие наркотиков ошибается в среднем один раз на 1200 проверок. Какова вероятность двух ошибок собаки в течение дня, если за день проверяется до 800 единиц багажа?

Задача 6.26. Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что вероятность рождения у двух человек придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день у каждого члена общества равна 1/365.

Задача 6.27. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету . Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью, не меньшей, чем 0,95?