6. Повторные испытания
Пусть проводится испытаний, причем выполняются следующие условия:
испытания независимы, то есть начальные условия перед каждым испытанием абсолютно одинаковы;
в каждом испытании интересующее нас событие может произойти с вероятностью .
Тогда вероятность того, что в испытаниях событие наступит ровно раз (безразлично, в какой последовательности), вычисляется по формуле Бернулли
,
где
В случае, если
велико, то есть
(значительно больше 1), то данную
вероятность можно найти по асимптотической
формуле (локальная
теорема Лапласа):
,
где
.
Функция
определяется формулой
.
Таблица значений
функции
для положительных значений
приведена в приложении 1; для отрицательных
значений
надо помнить, что
.
В тех случаях, когда число испытаний велико, а вероятность мала пользуются формулой Пуассона:
,
где
среднее число появлений события в
различных сериях испытаний.
Вероятность того,
что в
независимых испытаниях (
велико) событие наступит не менее
раз и не более
раз, приближенно равна
,
где
.
Функция
определяется формулой
.
Таблица значений
функции Лапласа
для положительных значений
приведена в приложении 2; для значений
полагают
.
Для отрицательных значений
используют ту же таблицу, учитывая, что
функция Лапласа нечетная, то есть
.
Последняя формула носит название интегральной теоремы Лапласа. Она тем точнее, чем больше значение .
ПРИМЕР 6.1. Бросаются 3 игральные кости. Какова вероятность того, что выпадет одна шестерка?
Решение.
Из условия задачи
.
Рассматривается событие
выпадение шестерки при одном подбросе
кости. Тогда
.
.
ПРИМЕР 6.2. В лаборатории проводится серия из 400 опытов по обнаружению микроба в растворе. Вероятность появления микроба в каждом отдельном опыте равно 0,2. Найти вероятность того, что микроб будет обнаружен в 80 опытах.
Решение.
Очевидно, что при
пользоваться формулой Бернулли
практически невозможно из-за необходимости
вычислять факториалы больших чисел.
Воспользуемся локальной теоремой
Лапласа. Итак,
;
.
Найдем значение
функции
по таблице:
.
.
ПРИМЕР 6.3. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.
Решение.
По условию
велико;
мало. Найдем
.
По формуле Пуассона искомая вероятность
приближенно равна
.
ПРИМЕР 6.4. Монета бросается 5 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет не менее четырех раз?
Решение.
.
;
.
Тогда требуемая
вероятность
.
ПРИМЕР 6.5: Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК равно 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.
Решение.
Требуется найти вероятность
.
Однако решить
задачу как в предыдущем случае невозможно,
поэтому воспользуемся интегральной
теоремой Лапласа:
;
.
По таблице находим
и
.
Искомая вероятность
.