59. Сходимость метода итераций явного типа решения некорректных задач в энергетической норме.
В
действительном гильбертовом пространстве
решается уравнение 1 рода
(1)
где
- ограниченный, положительный,
самосопряженный оператор, для которого
нуль не является собственным значением.
Причем нуль принадлежит спектру оператора
,
т.е. задача некорректна. Предполагается
существование единственного решения
при точной правой части
.
Для его отыскания предлагается итеративный
метод
(2)
Однако
на практике часто правая часть
уравнения (1) бывает неизвестной, а вместо
известно приближение
,
тогда метод (2) примет вид:
(3)
Рассмотрим
сходимость процессов (2) и (3) в энергетической
норме
,
где
.
При этом, как обычно, число итераций
нужно выбирать в зависимости от уровня
погрешности
.
Полагаем и рассмотрим разность
. (4)
Рассмотрим
первое слагаемое
.
Покажем по индукции,
что
При
из формулы (2) получаем:
,
т.к.
Следовательно,
формула (*) справедлива при
.
Предполагаем, что
формула (*) верна при
,
т.е.
Покажем, что формула
(*) справедлива для
Покажем, что
бесконечно мало в норме пространства
при
.
Так как уравнение
(1) имеет по определению единственное
точное решение, то
и, следовательно,
Воспользовавшись интегральным представлением самосопряженного оператора, имеем:
,
где
– соответствующая спектральная функция,
– единичный оператор. Для оценки нормы
найдем максимум подынтегральной функции
при
.
Известно,
что
.
Таким
образом, при
,
удовлетворяющих условию
, (5)
для
любых
справедливо неравенство
,
и, следовательно,
.
.
Оценка
для
,
при
.
Оценим второе слагаемое в (4). Как было показано ранее, справедливо равенство
.
Воспользовавшись интегральным представлением самосопряженного оператора, получим
.
Обозначим
через
подынтегральную функцию и оценим ее
сверху при условии (5).
.
,
.
Тогда
получаем,
(6)
Запишем общую оценку при условии (5):
(7)
Теорема
1.
Итерационный процесс (3) при
условии
сходится в энергетической норме
гильбертова пространства
,
если выбирать число итераций
из условия
.
Для процесса (3) справедлива оценка
погрешности (7).
Оптимизируем
полученную оценку (7) по
,
т.е. при заданном
найдем такое значение числа итераций
,
при котором оценка погрешности становится
минимальной. Приравняв нулю производную
по
от правой части неравенства (7) и проведя
ряд преобразований, получим
.
Подставив
в оценку (7), получим ее оптимальное
значение
.
Получим,
что оптимальная оценка погрешности не
зависит от параметра
,
но от него зависит
.
Поэтому для уменьшения
и, значит, объема вычислительной работы,
следует брать
по возможности большим, удовлетворяющим
условию (5) и так, чтобы
было целым.
Рассмотрим вопрос о том, когда из сходимости в энергетической норме следует сходимость в обычной норме гильбертова пространства . Эти условия дает
Теорема 3. Если выполнены условия:
1)
,
2)
,
где
,
- фиксированное положительное число
,
то
из сходимости
к
в энергетической норме следует сходимость
в обычной норме гильбертова пространства.