57. Метод простой интерации явного типа решения некорректных задач с апостериорным выбором числа итераций

При приближенном решении математических задач или прикладных задач весьма существенным является вопрос о том, корректна ли решаемая задача. Большинство некорректных задач может быть приведено к уравнению 1 рода, имеющему вид: (1.1)

в котором по заданному, не обязательно линейному оператору А, действующему из пространства X в пространство Y и по заданному элементу требуется определить решение х в пространстве Х.

Определение. Задача определения решения x=R(y) из пространства Х по исходным данным называется устойчивой на пространствах Х и У, если для любого числа можно указать такое число , что неравенства следует, что где х₁=Ry₁, x₂=Ry₂, x₁,x₂ X, y₁,y₂ Y.

Определение. Следуя Ж. Адамару, задачу отыскания из (1.1) называют корректной, если при любой фиксированной правой части у=у₀из Y ее решение: а) существует в пространстве Х; б) единственно в Х; в) устойчиво в Х. Если хотя бы одно из условий не выполняется, то задачу называют некорректной.

Определение. Назовем задачу (1.1) корректной по Тихонову на множестве а само множество М – ее множеством корректности, если:

а) Точное решение задачи существует в классе М, б) принадлежащее множеству М решение задачи единственно для любой правой части у из множества , в) принадлежащие множеству М решение задачи устойчиво относительно любой правой части у из множества N.

Постановка задачи

В действительном гильбертовом пространстве Н решается уравнение 1 рода Ах = у, (1)

где А - ограниченный, положительный, самосопряжённый оператор, для которого нуль не является собственным значением. Причём нуль принадлежит спектру оператора А, т.е. задача некорректна. Предполагается существование единственного решения х при точной правой части у. Для его отыскания предлагается итеративный метод (2)

Однако на практике часто правая часть у уравнения (1) бывает неизвестной, а вместо у известно приближение , тогда метод (2) примет вид:

(3)

Если раскрыть скобки во втором слагаемом в (2) и (3), то исчезает, следовательно, вычислять и не придётся.

Решение задачи

Для решения Ax = y используется метод (3). Все результаты получены в предположении, что точное решение уравнения (1) истокопредставимо, т.е. . Однако, поскольку сведения об элементе и степени истокопредставимости s имеются не всегда, то трудно определить число итераций п, обеспечивающих сходимость метода (3). Тем не менее этот метод можно сделать вполне эффективным, если воспользоваться следующим правилом останова по невязке.