56. Понятие корректно и некорректно поставленных задач.

При приближенном решении математических задач или прикладных задач весьма существенным является вопрос о том, корректна ли решаемая задача. Большинство некорректных задач может быть приведено к уравнению 1 рода, имеющему вид:

(1.1)

в котором по заданному, не обязательно линейному оператору А, действующему из пространства X в пространство Y и по заданному элементу требуется определить решение х в пространстве Х.

Определение. Задача определения решения x=R(y) из пространства Х по исходным данным называется устойчивой на пространствах Х и У, если для любого числа можно указать такое число , что неравенства следует, что где х₁=Ry₁, x₂=Ry₂, x₁,x₂ X, y₁,y₂ Y.

Определение. Следуя Ж. Адамару, задачу отыскания из (1.1) называют корректной (корректно поставленной), если при любой фиксированной правой части у=у₀ из Y ее решение:

а) существует в пространстве Х; б) единственно в Х; в) устойчиво в Х.

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то задачу называют некорректной (некорректно поставленной).

Определение. Назовем задачу (1.1) корректной по Тихонову на множестве а само множество М – ее множеством корректности, если:

а) Точное решение задачи существует в классе М, б) принадлежащее множеству М решение задачи единственно для любой правой части у из множества , в) принадлежащие множеству М решение задачи устойчиво относительно любой правой части у из множества N.

Сходимость метода простой итерации в случае единственного решения

Постановка задачи

В действительном гильбертовом пространстве Н решается уравнение 1 рода

Ах = у, (1)

где А - ограниченный, положительный, самосопряжённый оператор, для которого нуль не является собственным значением. Причём нуль принад­лежит спектру оператора А, т.е. задача некорректна. Предполагается суще­ствование единственного решения х при точной правой части у. Для его отыскания предлагается итеративный метод

(2)

Однако на практике часто правая часть у уравнения (3.1) бывает неизвест­ной, а вместо у известно приближение , тогда метод (3.2) примет вид:

(3)

Если раскрыть скобки во втором слагаемом в (3.2) и (3.3), то исчезает, следовательно, вычислять и не придётся.

Как нетрудно видеть, метод (3.3) обобщает метод простой итерации, т.е.

Последний получается из (3) при к = 1.

Сходимость при точной правой части

Теорема 1. Итеративный процесс (2) при условии (4) сходится.

Доказательство.

(*)

Рассмотрим процесс (2) при n=0 т.к. то следовательно при n=1 в формула (*) верна. Предположим что формула верна при n=p, (**) и рассмотрим её при n=p+1. Подставим (**) в формулу (2). Так как уравнение (1) имеет по предположению единственное точное решение, то следовательно,

Воспользовавшись интегральным представлением самосопряженного опе­ратора

( - соответствующая спектральная функция, ), получим .

Разобьём полученный интеграл на два интеграла

Рассмотрим 1ый интеграл. При условии (4) величина

Тогда . Рассмотрим 2ой интеграл. Здесь , .

так как сильно стремится к нулю при в силу свойств спектральной функции. Следовательно, , , т.е. итеративный процесс (2) сходится, ч.т. д.

Сходимость при приближенной правой части.

Покажем, что при тех же условиях процесс (3) можно сделать схо­дящимся, если нужным образом выбрать число итераций п в зависимости от уровня погрешности .

Теорема 2. При условии (3.4) итеративный процесс (3) сходится, если выбирать число итераций n в зависимости от

Доказательство.

Будем считать и рассмотрим разность Как показано ранее, . Воспользовавшись интегральным представлением самосопряжённого оператора А, получим и, как показано ранее то для сходимости метода (3) достаточно, чтобы ч.т. д.

Оценка скорости сходимости

Теорема 3. Если точное решение х уравнения (1) истокопредставимо, то при условии для метода (3) справедлива оценка погрешности

Погрешность в счёте

Теорема 4. Если точное решение х уравнения (1) истокопредставимо, то при условии оптимальная оценка погрешности для метода (3) имеет вид и достигается при