- •1Методологические основы оптимизации
- •1.1Необходимые условия для применения оптимизационных методов
- •1.1.1Определение границ системы
- •1.1.2 Характеристический критерий
- •1.1.3Независимые переменные
- •1.1.4 Модель системы
- •1.2Применение методов оптимизации в инженерной практике
- •1.2.1Использование методов оптимизации при проектировании
- •1.2.2Использование методов оптимизации при планировании и анализе функционирования систем
- •1.2.3Использование методов оптимизации для анализа и обработки информации
- •1.3Структура оптимизационных задач
- •Литература к главе 2
- •2Функции одной переменной
- •2.1Свойства функций одной переменной
- •2.2Критерии оптимальности
- •2.3 Методы исключения интервалов
- •2.3.1 Этап установления границ интервала
- •2.3.2 Этап уменьшения интервала
- •Метод деления интервала пополам.
- •Поиск с помощью метода золотого сечения.
- •2.3.3 Сравнение методов исключения интервалов
- •2.4Полиномиальная аппроксимация и методы точечного оценивания
- •2.4.1Методы оценивания с использованием квадратичной аппроксимации
- •2.4.2Метод последовательного оценивания с использованием квадратичной аппроксимации
- •2.5Методы с использованием производных
- •2.5.1Метод Ньютона — Рафсона
- •2.5.2Метод средней точки
- •2.5.3Метод секущих (хорд)
- •2.5.4Метод поиска с использованием кубичной аппроксимации
- •2.6Сравнение методов
- •Заключение
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Литература
1.1.2 Характеристический критерий
Если подлежащая исследованию система определена и ее границы установлены, то на следующем этапе постановки задачи оптимизации необходимо осуществить выбор критерия, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта, с тем чтобы выявить «наилучший» проект или множество «наилучших» условий функционирования системы. В инженерных приложениях обычно выбираются критерии экономического характера. Однако спектр возможных формулировок таких критериев весьма широк; при определении критерия могут использоваться такие экономические характеристики, как валовые капитальные затраты, издержки в единицу времени, чистая прибыль в единицу времени, доходы от инвестиций, отношение затрат к прибыли или собственный капитал на данный момент времени. В других приложениях критерий может основываться на некоторых технологических факторах, например, когда требуется минимизировать продолжительность процесса производства изделия, максимизировать темпы производства, минимизировать количество потребляемой энергии, максимизировать величину крутящего момента, максимизировать нагрузку и т. п. Независимо от того, какой критерий выбирается при оптимизации, «наилучшему» варианту всегда соответствует минимальное или максимальное значение характеристического показателя качества функционирования системы.
Важно отметить, что независимо от содержания оптимизационных методов, рассматриваемых в настоящей книге, только один критерий (и, следовательно, характеристическая мера) может использоваться при определении оптимума, так как невозможно получить решение, которое, например, одновременно обеспечивает минимум затрат, максимум надежности и минимум потребляемой энергии. Происходит существенное упрощение реальной ситуации, поскольку в ряде практических случаев было бы весьма желательным найти решение, которое бы являлось «наилучшим» с позиции нескольких различных критериев.
Один из путей учета совокупности противоречивых целевых установок состоит в том, что какой-либо из критериев выбирается в качестве первичного, тогда как остальные критерии считаются вторичными. В этом случае первичный критерий используется при оптимизации как характеристическая мера, а вторичные критерии порождают ограничения оптимизационной задачи, которые устанавливают диапазоны изменений соответствующих показателей от минимального до максимального приемлемого значения. В частности, в примере с красильным цехом различными служащими фирмы, которой принадлежит промышленное предприятие, могут быть выбраны следующие критерии.
1. Управляющий красильным цехом отдает предпочтение проекту, согласно которому производственный процесс протекает с минимальными изменениями в ассортименте изделий и используемых красок. При этом максимизируется количество изделий, окрашиваемых в единицу времени.
2. Руководитель отдела сбыта, заинтересован в реализации проекта, в соответствии с которым объемы складских запасов изделий всех видов и окрасок максимальны. В этом случае минимизируется продолжительность интервала времени между получением заказа от потребителя и его выполнением.
3. Руководитель фирмы отдает предпочтение проекту, в соответствии с которым объемы складских запасов минимальны, с тем, чтобы уменьшить капитальные издержки на хранение изделий.
Нетрудно видеть, что эти критерии не могут быть реализованы при оптимизации одновременно. Приемлемым компромиссом является выбор в качестве первичного характеристического показателя качества функционирования системы подлежащего минимизации показателя суммарных затрат в единицу времени с последующим учетом необходимых вторичных условий, к числу которых относится поддержание объемов складских запасов изделий всех видов в заранее установленных границах, а также ограничение количества изменений в ассортименте изделий и используемых красок в течение недели.
Необходимо отметить, что для применения рассматриваемых далее методов необходимо сформулировать оптимизационную задачу, которая обладает единственным характеристическим критерием. За последние годы разработан ряд методов решения мультикритериальных оптимизационных задач различных типов, однако обсуждение этого нового и постоянно совершенствуемого аналитического аппарата выходит за рамки курса ( подробности см. в [1, 2]).