60

Методы оптимизации в технике

1Методологические основы оптимизации

1 Методологические основы оптимизации 2

1.1 Необходимые условия для применения оптимизационных методов 3

1.1.1 Определение границ системы 4

1.1.2 Характеристический критерий 4

1.1.3 Независимые переменные 5

1.1.4 Модель системы 6

1.2 Применение методов оптимизации в инженерной практике 7

1.2.1 Использование методов оптимизации при проектировании 9

1.2.2 Использование методов оптимизации при планировании и анализе функционирования систем 16

1.2.3 Использование методов оптимизации для анализа и обработки информации 19

1.3 Структура оптимизационных задач 22

2 Функции одной переменной 24

2.1 Свойства функций одной переменной 24

2.2 Критерии оптимальности 27

2.3 Методы исключения интервалов 34

2.3.1 Этап установления границ интервала 36

2.3.2 Этап уменьшения интервала 37

Метод деления интервала пополам. 37

Поиск с помощью метода золотого сечения. 39

2.3.3 Сравнение методов исключения интервалов 41

2.4 Полиномиальная аппроксимация и методы точечного оценивания 42

2.4.1 Методы оценивания с использованием квадратичной аппроксимации 43

2.4.2 Метод последовательного оценивания с использованием квадратичной аппроксимации 45

2.5 Методы с использованием производных 47

2.5.1 Метод Ньютона — Рафсона 47

2.5.2 Метод средней точки 49

2.5.3 Метод секущих (хорд) 49

2.5.4 Метод поиска с использованием кубичной аппроксимации 51

2.6 Сравнение методов 54

Данный конспект лекций является введением и теорию оптимизации и знакомит с приложениями этой теории к решению ряда задач, возникающих в инженерной практике. В наиболее общем смысле теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на нахождение и идентификацию наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих, избежать полного перебора и оценивания возможных вариантов. Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности, поскольку классические функции инженера заключаются в том, чтобы, с одной стороны, проектировать новые, более перспективные и менее дорогостоящие технические системы и, с другой стороны, разрабатывать методы повышения качества функционирования существующих систем.

Эффективность оптимизационных методов, позволяющих осуществить выбор наилучшего варианта без непосредственной проверки всех возможных вариантов, тесно связана с широким использованием достижений в области математики путем реализации итеративных вычислительных схем, опирающихся на строго обоснованные логические процедуры и алгоритмы, на базе применения вычислительной техники. Поэтому для изложения методологических основ оптимизации требуется привлечение важнейших результатов теории матриц, элементов линейной алгебры и дифференциального исчисления, а также положений математического анализа. Математические понятия и конструкции используются в настоящей книге не только для того, чтобы повысить уровень строгости представления материала, но и потому, что они составляют терминологическую базу изложения, которая позволяет упростить описание и определение структурных элементов рассматриваемых вычислительных процедур и облегчить их понимание.

Поскольку размерность инженерных задач, как правило, достаточно велика, а расчеты в соответствии с алгоритмами оптимизации требуют значительных затрат времени, оптимизационные методы ориентированы главным образом на реализацию с помощью ЭВМ. Однако, несмотря на то, что изложение методологических принципов ведется с учетом указанной ориентации, в данном конспекте подробно не описаны вопросы, связанные с составлением программ для ЭВМ и программированием. Главное внимание уделяется математическим и логическим построениям, лежащим в основе исследуемых методов, факторам, обусловливающим выбор тех или иных аналитических схем, а так же рассмотрению важнейших прикладных аспектов теории.