3. Общий интеграл дифференциального уравнения изгиба рассматриваемой однопролётной балки

Общий интеграл (11) дифференциального уравнения (10), являющийся выражением, описывающим характер изменения прогиба W(x) по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значений величин А и С, запишется:

которое может быть приведено к виду, более удобному для выполнения расчётов, так как вместо «размерной» переменной величины «x» вводится «безразмерная» переменная величина, равная отношению «х/L»

(27)

В качестве проверки полученного решения нетрудно убедиться, что при x = L из формулы (27) следует

,

что соответствует граничному условию (8).

3. Определение изгибающих моментов, действующих на рассматриваемую однопролётную балку

Значения изгибающих моментов M(x) , действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются зависимостью (3),которая, учитывая полученную формулу (27), для рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки преобразуется к виду:

или к выражению, содержащему «безразмерную» переменную величину, равную отношению «х/L»:

(28)

На основании формулы (28) может быть построена эпюра значений изгибающих моментов M(x) по длине рассматриваемой.

Для определения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки M_пр необходимо в первую очередь определить значение координаты (x_пр) расположения этого изгибающего момента M_пр. Для определения значения координаты (x_пр) необходимо получить выражение для первой производной от выражения (28):

(29)

Тогда значение координаты (x_пр), где изгибающий момент будет иметь экстремальное значение M_пр, определится из условия:

или, учитывая выражение (29), из следующего уравнения:

,

откуда

(x_пр) (30)

Тогда экстремальное значение M_пр будет равно:

(31)

Наибольшее значение изгибающий момент M(x), исходя из характера его распределения по длине балки, может иметь или в районе упругой заделки при х = L (значение M_оп) или при x = x_пр (значение M_пр).

Значение M_оп определим из выражения (28), подставляя в последнее значение координаты х = L:

(32)

3. Значение коэффициента опорной пары в районе упругой заделки рассматриваемой однопролётной балки

Коэффициент опорной пары æ определяется отношением значения изгибающего момента, действующего в районе упругой заделки M_оп, к значению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткого защемления M_жз:

א (33)

Значения коэффициента опорной пары могут изменяться в пределах от א = 0, что характеризует фактически абсолютно жёсткое опирание балки на свободную шарнирную опору с моментом M_оп = 0, до значения א = 1, что характеризует абсолютно жёсткое защемление конца балки с отсутствием какого-либо поворота поперечного сечения балки в этом районе.

Значение изгибающего момента M_жз в районе упругой заделки в предположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы (32), если в последней предположить, что коэффициент податливости заделки or равен нулю:

, (34)

тогда на основании формул (32), (33), (34) получим выражение, определяющее значение коэффициента опорной пары א упруго защемлённого конца рассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:

א (35)

Из формулы (35) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругой заделки or через значения коэффициента опорной пары æ:

(36)

Использование формулы (36) позволяет выразить значения коэффициентов А^I и С^I при постоянных интегрирования А и С, определяемых формулами (25) и (26), выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары æ:

(37)

(38)