Задачи для самостоятельного решения

Задачи решить симплексным методом:

9. Кирпичный завод выпускает кирпичи двух марок (I и II). Для производства кирпича применяется глина трех видов (А, В и С). По месячному плану завод должен выпустить 10 усл. ед. кирпича марки I и 15 усл. ед. кирпича марки II. В таблице указаны расход различных видов глины для производств 1 усл. ед. кирпича каждой марки и месячный запас глины. Какова наибольшая прибыль, если известно, что от реализации 1 усл. ед. кирпича марки I завод получает прибыль, равную 4 ден. ед., а марки II — 7 ден. ед.?

Марка кирпича	Количество глины для производства 1 усл. ед. кирпича
	А	В	С
I	1	0	1
II	0	2	2
Запасы глины, усл. ед.	15	36	47

10. Для производства стали определенной марки, в которую в качестве легирующих веществ должны входить химические элементы К, L, Р, можно закупать шихту двух видов (I и II). В таблице указано, сколько требуется каждого из этих элементов для производства 100 т стали (по технологии можно немного больше, но меньше — нельзя). Содержание этих элементов в каждой тонне шихты, а также стоимость 1 т шихты каждого вида также приведены в таблице.

Вид шихты	Стоимость 1 т шихты	Легирующие вещества
		К	L	Р
I	3	3	2	1
II	2	1	1	1
Необходимое количество легирующих веществ		9	8	6

Определить наименьшие затраты для производства стали данной марки.

Ответы: 1. х₁=1, х₂=0, F_max =1; 2. х₁=12, х₂=6, F_max =84; 3. Задача не имеет решений, т.к. F не ограничена на области D сверху; 4. х₁=х₂=0, х₃=10, F_max=10; 5. х₁=0, х₂=1, F_min =-1; 6. х₁=2, х₂=0, F_min=-4; 7. х₁=х₄=х₅=0, х₂=4, х₃=5, х₆=11, F_min=-11; 8. х₁=3/2, х₂=7/4, F_max=-1; 9. F_max=191 ден.ед.; 10. F_min= 14 ден.ед.

5. Теория двойственности

5.1. Виды математических моделей двойственных задач

Любой задаче линейного программирования (исходной, или прямой) можно поставить в соответствие другую задачу, которая называется двойственной или сопряженной. Обе эти задачи образуют пару двойственных (или сопряженных) задач линейного программирования. Каждая из задач является двойственной к другой задаче рассматриваемой пары.

Составим двойственную задачу к следующей задаче.

Имеется т видов сырья в количестве b₁, b₂,..., b_т, которые используются для изготовления п видов продукции. Известно: а_ij — расход i-го вида сырья на единицу j-ой продукции; с_j. — прибыль при реализации единицы j-го вида продукции. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

Математическая модель данной задачи имеет вид

F(X) = с₁ х₁ + с₂ х₂ + ... + с_п х_п→max,

Здесь х _j, j = 1,2, ..., п — объем производства j-го вида продукции.

Предположим, что второй производитель хочет перекупить сырье. Составим двойственную задачу, решение которой позволит определить условия продажи сырья. Введем вектор оценок (цен) видов сырья Y=(у₁, у₂,… …,у_т). Затраты на приобретение i -го вида сырья в количестве b_i равны b_iу_i . Второму производителю выгодно минимизировать суммарные затраты на приобретение всех видов сырья, поэтому целевая функция имеет вид

Z(Y) =b₁у₁ +b₂у₂ +…+b_ту_т→ min.

Первому производителю невыгодно продавать сырье, если суммарная стоимость всех видов сырья, расходуемых на каждое изделие j-й продукции, т.е. а_1j у₁ + а_2j у₂ +…+ а_mj у_т, меньше прибыли с_j получаемой при реализации этого изделия. Система ограничений задачи имеет вид

Очевидно, что оценки видов сырья должны удовлетворять условиям неотрицательности у_i ≥0, i = 1, 2, …, т.

Таким образом, связь исходной и двойственной задач состоит в том, что коэффициенты c_j целевой функции исходной задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи, cвoбодные члены b_i системы ограничений исходной задачи служат коэффициентами целевой функции двойственной задачи, а матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений исходной задачи.

Рассмотренная пара задач относится к симметричным парам двойственных задач. В теории двойственности используются четыре пары двойственных задач (приведем их в матричной форме записи):

Исходная задача Двойственная задача

Симметричные пары

1. F(X)=CX→max, Z(Y)=YA₀→min

AX≤ A₀ , YA≥ C,

X≥θ; Y≥θ.

2. F(X)=CX→min, Z(Y)=YA₀→ max,

AX≥ A₀ , YA≤ C,

X≥θ; Y≥θ.

Несимметричные пары

3. F(X)=CX→max, Z(Y)=YA₀→min

AX= A₀ , YA≥ C.

X≥θ;

2. F(X)=CX→min, Z(Y)=YA₀→ max,

AX=A₀ , YA≤ C.

X≥θ;

Здесь С=(с₁, с₂,…, с_n), Y= (у₁, у₂,… …,у_т),