2.2. Графический метод решения задач линейного программирования с п переменными

Графическим методом можно решить задачи линейного программирования, имеющие каноническую форму и удовлетворяющие условию n - r ≤ 2,

где п—число неизвестных системы;

r — ранг системы векторов-условий (число линейно независимых уравнений системы).

Если уравнения системы ограничений линейно независимы, то r = т,

где т — число уравнений.

Рассмотрим алгоритм метода на конкретном примере.

Пример. Решить графическим методом задачу

F(X)=x₁+x₂+5x₃+3x₄→ max

Решение. Проверяем, применим ли графический метод при решении данной задачи.

Нетрудно видеть, что любые два из векторов-условий, например линейно независимы, так как их координаты непропорциональны.

Поэтому ранг системы векторов-условий r=2.

Находим п – r = 4 - 2 = 2 ≤ 2. Следовательно, метод применим.

Приведем систему уравнений-ограничений к равносильной, с помощью линейных преобразований, предварительно записав её в матричной форме:

.

Таким образом, получили систему: .

Выразим переменные х₁ и х₂:

х₂=4-2х₃- х₄

х₁=9-2х₂ -3х₃-3х₄=9-2(4-2х₃- х₄)-3х₃-3х₄=9-8+4х₃+2х₄ -3х₃-3х₄=1+х₃- х₄

Т.к. х₁≥0 и х₂≥0, то систему уравнений мы записываем в виде системы неравенств:

В результате получим эквивалентную задачу линейного программирования с двумя переменными, которая решается графическим методом

F(X)= 1+х₃- х₄+4-2х₃- х₄+5х₃+3х₄=

=5+4х₃+ х₄ → max

,

х₃≥0, х₄≥0.

И зобразим на плоскости систему координат Ох₁х₂ и построим граничные прямые области допустимых решений.

Находим оптимальное решение эквивалентной задачи и соответствующее ему максимальное значение целевой функции: С(2,0), F(C)=5+4·2+0=13.

Используем систему ограничений исходной задачи, приведенную к каноническому виду, и оптимальное решение задачи с двумя переменными для нахождения оптимального решения исходной задачи:

х₂=4-2х₃- х₄=4-2·2-0=0,

х₁=1+х₃- х₄=1+2-0=3.

Следовательно,

X=(3,0,2,0);

F(X)=3+0+5·2+3·0=13.

Ответ: max F(X)= 13, при X=(3,0,2,0) .

Задачи для самостоятельного решения

Найти максимум функции F при заданных ограничениях:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

Найти минимум функции F при заданных ограничениях:

8. 9.

10.

11.

12.

13.

14.

Ответы: 1. F_max=4; 2. F_max=∞; 3. F_max=22/3; 4. решений нет; 5. F_max=∞; 6. F_max=37; 7. F_max=6; 8. F_min=∞; 9. F_min=-1; 10. решений нет; 11. F_min=8/3; 12. F_min=300; 13. F_min=9; 14. F_min=1.