1. Общая задача линейного программирования

1.1. Задачи математического и линейного программирования

Исследование различных процессов, в том числе и экономических, обычно начинается с их моделирования, т.е. отражения реального процесса через математические соотношения. При этом составляются уравнения или неравенства, которые связывают различные показатели (переменные) исследуемого процесса, образуя систему ограничений. В этих соотношениях выделяются такие переменные, меняя которые можно получить оптимальное значение основного показателя данной системы (прибыль, доход, затраты и т.п.). Соответствующие методы, позволяющие решать указанные задачи, объединяются под общим названием «математическое программирование», или «математические методы исследования операций».

Математическое программирование включает в себя такие разделы математики, как линейное, нелинейное и динамическое программирование. Сюда же обычно относят стохастическое программирование, теорию игр, теорию массового обслуживания, теорию управления запасами и некоторые другие.

Итак, математическое программирование — это раздел высшей математики, посвященный решению задач, связанных с нахождением экстремумов функций нескольких переменных при наличии ограничений на переменные.

Методами математического программирования решаются задачи о распределении ресурсов, планировании выпуска продукции, ценообразовании, транспортные задачи и т.п.

Построение математической модели экономической задачи включает следующие этапы: 1) выбор переменных задачи; 2) составление системы ограничений; 3) выбор целевой функции.

Переменными задачи называются величины x₁ , x₂ , ..., х_п , которые полностью характеризуют экономический процесс. Их обычно записывают в виде вектора Х= (х₁, х₂, ..., х_п).

Система ограничений включает в себя систему уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других экономических или физиче­ских условий, например положительности переменных и т.п.

Целевой функцией называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти.

Общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти экстремум целевой функции

F(X) =f (х₁, х₂, ..., х_п) → max (min) (1.1)

и соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений

(1.2)

Если целевая функция (1.1) и система ограничений (1.2) линейны, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования.

В общем случае задача линейного программирования может быть записана в таком виде:

F(Х)=с₁ х₁+ с₂ х₂+…+ с_n х_n → max (min), (1.3)

Данная запись означает следующее: найти экстремум целевой функции задачи (1.3) и соответствующие ему переменные Х = (х₁, х₂, ..., х_п) при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений (1.4) и условиям неотрицательности (1.5).

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования (ЗЛП) называется любой n-мерный вектор Х= (х₁, х₂, ..., х_п), удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности.

Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений (ОДР).

Оптимальным решением (планом) ЗЛП называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.

Так как в данном случае решается задача на экстремум, то возникает вопрос: можно ли использовать классические методы исследования на экстремум функции многих переменных. Применим необходимое условие экстремума функции, которое состоит в том, что частные производные функции многих переменных или равны нулю, или не существуют. В данном случае i=1, 2, …, n.

Но если все с_i= 0, то и F=0, т.е. экстремум функции не обнаруживается. Связано это с тем, что производную можно использовать для определения экстремума только во внутренних точках области решений, а в данном случае экстремум, как будет показано далее, находится на границах области. Отсюда и возникает необходимость разработки специальных методов поиска экстремума.