Определение понятия прямоугольника и доказательство его свойств.
Для введения определения понятия прямоугольника рассматриваются следующие три каркасные модели четырёхугольников (рис. 1, 2, 3).
рис.1 рис.2 рис.3
У ч и т е л ь. Найдите по виду этих четырёхугольников их общие свойства.
В е т р о в а . У каждого из них противолежащие стороны параллельны, поэтому все они являются параллелограммами.
У ч и т е л ь. А как ещё называют средний из этих параллелограммов?
Ф е д о р о в. Прямоугольником.
У ч и т е л ь. Чем отличается прямоугольник от двух других параллелограммов?
О с о к и н а. У него все углы прямые.
Учитель диктует, а учащиеся записывают определение прямоугольника:
«Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые».
У ч и т е л ь. Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Борисов, какими?
Б о р и с о в. У прямоугольника противолежащие стороны равны и диагонали точкой пересечения делятся пополам.
У ч и т е л ь. Верно. Но прямоугольник имеет ещё особое свойство, которое формулируется в виде теоремы: диагонали прямоугольника равны.
Для доказательства теоремы на доске изображается прямоугольник АВСД и его диагонали.
Учитель повторяет формулировку теоремы и предлагает Девятовой продиктовать, что нам дано и что нужно доказать.
Девятова затрудняется ответить.
Тогда учитель начинает переводить формулировку теоремы из категоричной формы в условную:
-- Сформулируем теорему в другом виде, а именно:
Если АВСД – прямоугольник, то…, Девятова, продолжи.
Д е в я т о в а. …Его диагонали равны.
У ч и т е л ь. Девятова, а теперь сможешь определить, что нам дано и что нужно доказать?
Д е в я т о в а. Да. АВСД – прямоугольник, а АС и ВД – его диагонали. Надо доказать, что диагонали Ас и ВД равны.
Доказательство проводится с использованием метода восходящего анализа.
У ч и т е л ь. Нам надо доказать равенство диагоналей АС и ВД. Для этого сначала выясним, являются ли они, например, сторонами треугольников ВАД и СДА.
Онищенко подтверждает этот факт.
У ч и т е л ь. Для того, чтобы доказать равенство диагоналей, достаточно доказать равенство, например, каких фигур?
Л о б о в а. Треугольников ВАД и СДА.
У ч и т е л ь. Для того, чтобы доказать равенство треугольников ВАД и СДА, что достаточно установить?
Н и к о л а е в. Что они прямоугольные, катет АД общий, а катеты АВ и СД равны как противолежащие стороны прямоугольника.
У ч и т е л ь. Итак, треугольники ВАД и СДА равны по двум катетам, а из их равенства следует и равенство гипотенуз. Гипотенузы же есть диагонали прямоугольника. Теорема доказана.
Записи на доске при этом оформляются в следующем виде:
Дано: АВСД – прямоугольник,
АС и ВД – диагонали
_________________________
Доказать: АС=ВД
Доказательство:
Треугольники ВАС СДА прямоугольные. Катет АД общий. Катеты АВ и СД равны как противолежащие стороны прямоугольника.
Треугольники ВАД и САД равны по двум катетам, отсюда следует равенство их гипотенуз: АС=ВД.