Игра с седловой точкой
В теории игр седловая точка (седловой элемент) — это наибольший элемент столбца матрицы игры, который одновременно является наименьшим элементом соответствующей строки (в игре двух лиц с нулевой суммой). В этой точке, следовательно, максимин одного игрока равен минимаксу другого; С. т. есть точка равновесия.
Рассмотрим некоторую игру 33, платёжная матрица которой дана табл. 5. Здесь как максиминный, так и минимаксный выигрыши равны 4. Иными словами, в данной игре нижняя и верхняя цена игры совпадают, обе равны 4. Выигрыш 4 является одновременно и максимальным из минимальных выигрышей для стратегий А1, А2, А3 и минимальным из максимальных выигрышей для стратегий В1, В2, В3. В геометрии точку на поверхности, являющуюся одновременно минимумом по одной оси координат и максимумом по другой, называют седловой точкой (см. рис. 1). По аналогии с геометрией элемент а22=4 рассматриваемой здесь платёжной матрицы называют седловой точкой матрицы, а об игре говорят, что она имеет седловую точку.
Рис. 1. Пример поверхности с седловой точки
Достаточно посмотреть внимательно на матрицу (см. табл. 5), чтобы понять, что каждый из игроков должен придерживаться максиминной (минимаксной) стратегии. Эти стратегии являются оптимальными в игре с седловой точкой. Любое отклонение от них будет невыгодно для игрока, допустившего отклонение.
Если же игра не имеет седловой точки (см. табл. 4), то ни одна из стратегий Аi или Вi не является оптимальной.
Табл. 5. Платёжная матрица с седловой точкой
B A |
В1 |
В2 |
В3 |
Минимумы строк, i |
А1 |
2 |
3 |
7 |
2 |
А2 |
5 |
4 |
6 |
4 |
А3 |
6 |
2 |
1 |
1 |
Максимумы столбцов, j |
6 |
4 |
7 |
|
Как быть, если игра не имеет седловой точки? Если каждый игрок вынужден выбирать одну-единственную чистую стратегию, то делать нечего: надо руководствоваться принципом минимакса. Другое дело, если можно свои стратегии "смешивать", чередовать случайным образом с какими-то вероятностями. Применение смешанных стратегий мыслится таким образом: игра повторяется много раз; перед каждой партией игры, когда игроку предоставляется личный ход, он "передоверяет" свой выбор случайности, "бросает жребий", и берёт ту стратегию, которая выпала.
Смешанные стратегии в теории игр представляют модель изменчивой, гибкой тактики, когда ни один из игроков не знает, как поведёт себя противник в данной партии. Такая тактика (правда, обычно безо всяких математических обоснований) часто применяется в карточных играх.
Решение игр в смешанных стратегиях
Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. Так, в таблице 4, седловая точка отсутствует. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.