Лабораторная работа №1.4

Изучение основного закона динамики вращательного движения

Цель работы: проверка основного закона динамики вращательного движения и формулы для определения момента инерции материальной точки.

Задание к работе:

К работе допущен:

Работу выполнил:

Работу защитил:

Введение

Рисунок 1

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела двигаются по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях с центрами на одной прямой, называемой осью вращения. Под действием некой силы тело, закрепленное на оси О, приходит во вращательное движение (рисунок1).

Вращающее действие этой силы характеризуется механическим моментом. Момент силы – это векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы на эту силу:

. (1)

Модуль момента силы определяется по формуле:

М_i = F_ir_isin = F_id_i,

где d_i – плечо силы F.

Плечом силы d_i называется расстояние по перпендикуляру от оси вращения до линии действия силы.

Мерой инертности при вращательном движении является момент инерции тела I.

Момент инерции материальной точки определяется соотношением:

I = mR².

Момент инерции, также как и масса, обладает свойством аддитивности, поэтому момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его точек:

. (2)

Для тел с непрерывным распределением массы суммирование заменяется интегрированием:

, (3)

где  – плотность материала тела, V – объем тела.

Например, момент инерции диска с равномерным распределением массы m и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно его плоскости, равен:

I = mR².

Момент инерции прямого цилиндра с равномерным распределением массы m и длиной L относительно оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной боковой поверхности цилиндра, равен:

I = mL².

В тех случаях, когда ось вращения не совпадает с центом масс тела, момент инерции тела вычисляется по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

I = I₀ + mа², (4)

где а – расстояние между осями.

Рис.2

Момент инерции I₀ вычисляется по формулам (2) или (3), т.е. с учетом формы и размеров тела. Произведение mR² определяет момент инерции тела как материальной точки при условии, что размеры тела много меньше, чем расстояние до оси вращения.

На рис.2 изображено тело, вращающееся вокруг закрепленной оси О, на которое действует сила F. Выберем декартову систему координат таким образом, чтобы ось Z этой системы была сонаправлена с осью вращения О. Разложим силу на составляющие , и по направлениям осей X, Y, Z.

Составляющие и вызвать вращение тела не могут, т.к. момент силы относительно оси О будет равен нулю, а сила может передвигать тело только вдоль оси О. Поэтому относительно оси О тело будет вращаться лишь под действием силы .

Пусть точка О_i данного тела имеет массу m_i и находится на расстоянии r_i от оси О. Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения точки О_i под действием силы :

.

Умножим векторно обе части этого уравнения на вектор и заменим ускорение через угловое ускорение исходя из формулы :

.

Раскроем двойное векторное произведение и, учитывая выражение (1), получим:

,

где М_i – момент всех внешних сил, действующих на точку О_i.

Так как  r_i, то =0, поэтому:

.

Так как твердое тело можно представить как систему материальных точек, то для него необходимо просуммировать все равенства, записанные для всех точек:

или .

С учетом выражения (2) перепишем это уравнение в виде:

,

где I – момент инерции тела относительно оси О, – результирующий момент внешних сил относительно оси О.

Таким образом:

. (5)

Уравнение (5) есть основной закон динамики вращательного движения твердого тела или второй закон Ньютона для вращательного движения.

Из второго закона Ньютона для вращательного движения (5) следует, что угловые ускорения тела  с постоянным моментом инерции I прямо пропорциональны вращающим моментам сил:

. (6)

Если момент инерции тела меняется, например, из-за перераспределения массы тела по радиусу, при постоянном вращающем моменте сил, то угловые ускорения обратно пропорциональны моментам инерции тела:

. (7)

Одной из задач предлагаемой лабораторной работы является опытная проверка соотношений (6) и (7), выполнение которых является экспериментальной проверкой второго закона Ньютона для вращательного движения. Другой задачей работы является проверка применимости формулы момента инерции материальной точки для вычисления момента инерции тела, вращающегося по окружности с радиусом много больше размеров тела.

1 Описание установки

Установка включает в себя маятник Обербека, электронный блок, набор грузов. Общий вид установки изображен на рисунке 3.

Рисунок 3

Установка состоит из основания 1, на вертикальной стойке которого размещены верхний 2, средний 3 и нижний 4 кронштейны. На кронштейне 2 крепится блок 5, через который перекинута нить 6, на которой подвешены грузы 7. На кронштейне 3 крепится электромагнит 11, который с помощью фрикциона удерживает систему грузов в неподвижном состоянии. На том же кронштейне закреплен двухступенчатый шкив 10 к оси которого крепится крестовина 8, представляющая собой четыре стержня с нанесенными на них рисками через 1см. На каждом стержне могут свободно передвигаться и фиксироваться грузы 9. На кронштейне 4 укреплен фотодатчик 12, который выдает сигнал на электронный блок 14. Амортизатор 13 служит для остановки груза. По миллиметровой линейке 15 определяют начальное и конечное положение грузов. На передней панели электронного блока 14 имеются индикаторы “ПЕРИОД”, “ВРЕМЯ”, кнопки управления: “СБРОС”, “ПУСК”, “СТОП” и кнопка “СЕТЬ”, которая включает питание блока 14. При нажатии на кнопку “СБРОС” происходит обнуление цифровых индикаторов “ПЕРИОД” и “ВРЕМЯ”.

Рассмотрим движение груза в ходе проведения работы (рисунок 4).

Рисунок 4

Натяжение нити Т создает вращающий момент, равный:

М = Тr, (8)

где r – радиус шкива, на который намотана нить (r₁ = 21мм или r₂ = 42мм).