Лабораторная работа №1.1

Определение объема цилиндра

Цель работы: научиться производить измерения с помощью штангенциркуля и микрометра, а также освоить способы обработки результатов измерений.

Задание к работе:

К работе допущен:

Работу выполнил:

Работу защитил:

Введение

Измерение физической величины заключается в сравнении ее с другой однородной физической величиной, принятой за единицу. Различают два вида измерений: прямые и косвенные.

Прямые измерения – это такие измерения, когда искомая величина определяется непосредственно с помощью инструмента или прибора, шкала которого проградуирована в единицах измерения определяемой величины.

Прямые измерения бывают двух типов: прямые единичные (однократные) измерения – это такие измерения, при которых их повторение дает один и тот же результат или, по условиям опыта, повторить измерение невозможно; прямые многократные измерения – это такие измерения, при которых их повторение дает разные результаты. Число повторных измерений n называется выборкой.

Косвенные измерения – это такие измерения, когда искомая величина вычисляется по данным прямых измерений по соответствующим функциональным зависимостям, устанавливающим связь между искомой величиной и этими прямыми измерениями.

Измерить абсолютно точно принципиально невозможно по следующим причинам:

1) невозможно изготовить абсолютно точный прибор в связи с погрешностями изготовления;

2) приборы изнашиваются, стареют, в результате чего их точность уменьшается;

3) силы взаимодействия (силы трения, тяжести и т.д.) и внешние факторы (температура окружающей среды, давление, влажность, электрические и магнитные поля) изменяют измеряемые параметры тел, сред и влияют на характеристики приборов;

4 точность измерения зависит от квалификации экспериментатора.

Все погрешности делятся на две группы: систематические погрешности – это такие погрешности, когда при повторении измерений величина и знак погрешности остаются неизменными; случайные погрешности – это такие погрешности, когда при повторении измерений величина и знак погрешности изменяются хаотически. Случайные погрешности возникают вследствие неоднозначности измеряемых параметров в пространстве и времени, а также влияния внешних факторов.

Для оценки точности выполненных измерений рассчитываются абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью измерения Δх_и называется разница между истинным и измеренным значениями искомой величины, измеряемая в тех же единицах, что и измеряемая величина:

Δх_и = х_и – х.

Однако абсолютная погрешность недостаточно полно характеризует точность измерения. В связи с этим вводится понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к измеренной величине, измеряется в процентах:

.

Так как истинное значение физической величины определить невозможно, то за результат измерений принимается действительное значение физической величины х_д, которое определяется тем или иным способом в зависимости от вида измерений и объёма выборки. Действительное значение физической величины будет сколь угодно близко приближаться к истинному значению только при бесконечно большой выборке (n → ∞). Поскольку практически выборки содержат конечное (и, как правило, небольшое число измерений n) между действительным и истинным значениями существует различие, определить которое невозможно. Однако возможно определить интервал значений измеряемой величины х_д ± Δх, называемый доверительным интервалом, в который истинное значение измеряемой величины попадает с известной вероятностью α, называемой надежностью доверительного интервала. Величина Δх называется границей доверительного интервала.

1.1 Определение погрешностей прямых единичных измерений

1.1 За действительное значение принимается измеренное значение физической величины:

х_д = х.

1.2 В качестве границ доверительного интервала принимается абсолютная погрешность, которая вычисляется:

1) по классу точности прибора. Класс точности k является технической характеристикой прибора и указывается на панели прибора или в его техническом паспорте:

где Х_пред – предел измерения прибора, т.е. наибольшая величина, которую прибор способен измерить;

2) по цене деления прибора. Если у прибора не указан класс точности (например, линейка, термометр), то в качестве абсолютной погрешности берут цену деления прибора.

1.3 Относительная погрешность определяется по формуле:

.

1.4 Надежность доверительного интервала принимаем равной единице:  = 1

1.5 Окончательный ответ записывается в виде:

х = (х_д ± Δх) единицы измерения с ε% ( = 1).

1.2 Определение погрешностей прямых многократных измерений

2.1 За действительное значение принимается среднее значение физической величины:

х_д = .

Среднее значение определяется по формуле:

,

где n – число измерений, х_i = х₁, х₂, х₃,…,х_n.

2.2 Определяют абсолютную погрешность каждого измерения:

Δх_i = .

2.3 Вычисляют среднеквадратичную погрешность среднего арифметического значения:

.

2.4 Надежность доверительного интервала принимаем равной 0,9. По числу измерений и надежности определяют коэффициент Стьюдента t_α(n)(таблица 1).

Таблица 1

Число измерений	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
Коэффициент Стьюдента	6,3	2,9	2,4	2,1	2,0	1,9	1,9	1,9	1,8	1,6

2.5 Вычисляют случайную ошибку измерений:

Δх_случ = S·t_α(n).

2.6 Определяют приборную ошибку (см. 1.1.2 в п.2).

2.7 Вычисляют абсолютную суммарную погрешность по формуле:

Δх = Δх _случ+ Δх _приб,

которую принимают за границу доверительного интервала.

2.8 Относительная погрешность определяется по формуле:

.

2.9. Окончательный ответ записывается в виде:

х = (х_д ± Δх) единицы измерения с ε % ( = 0,9).

1.3 Определение погрешностей косвенных измерений

Погрешность косвенного измерения складывается из погрешностей прямых измерений. . Определение погрешностей косвенных измерений можно проводить двумя способами.

3.1.1 За действительное значение принимается рассчитанное по формуле значение физической величины:

х_д = F(а_д,b_д…),

где а_д,b_д – действительные значения прямых измерений.

3.1.2 Вычисляют частные производные функции F:

3.1.3. Вычисляют абсолютные погрешности прямых измерений, входящих в исходную функцию F: Δа, Δb…

Если в расчетной формуле для х_д используется величина, взятая из таблицы, или округленная математическая константа, то при расчете х следует учитывать погрешность табличной величины. За погрешность табличной величины принимают половину разряда последней значащей цифры числа(таблица 2).

Таблица 2

Табличное значение величины	Разряд последней значащей цифры	Погрешность табличной величины
 = 3,14	0,01	Δх = Δх табл = Δπ = 0,005
ρ = 9860 кг·м-3	1	Δх = Δх табл = Δρ = 0,5 кг·м-3
Rз = 6,4·106 м	0,1·106	Δх = Δх табл = ΔRз = 0,05·106м

3.1.4. Границы доверительного интервала косвенного измерения вычисляют по соотношению:

Δх =

3.1.5 Относительная погрешность определяется по формуле:

.

3.1.6 Окончательный ответ записывается в виде:

х = (х_д ± Δх) единицы измерения с ε % ( = 0,9).

3.2.1 За действительное значение принимается рассчитанное по формуле значение физической величины:

х_д = F(а,b,…).

3.2.2 Вычисляют частные производные логарифма функции F:

3.2.3 Вычисляют абсолютные погрешности прямых измерений, входящих в исходную функцию F: Δa, Δb,….

3.2.4 Относительная погрешность косвенного измерения вычисляют по соотношению:

ε = .

3.2.5 Границы доверительного интервала определяются по формуле:

.

3.2.6 Окончательный ответ записывается в виде:

х = (х_д ± Δх) единицы измерения с ε % ( = 0,9).

Окончательные ответы для всех описанных способов должны быть представлены с учетом округления полученных результатов. Округление проводится по следующим правилам:

1) Границу доверительного интервала округляют до двух значащих цифр, если ее первой значащей цифрой является 1 или 2; и до одной значащей цифры в остальных случаях;

2) Действительное значение округляют так, чтобы разряд его последней значащей цифры совпал с разрядом последней значащей цифры границы доверительного интервала;

3) Относительная погрешность округляется по правилу деления приближенных чисел.