Отримання чисел подібності з диференційного рівняння для рівномірного сталого руху рідини, що не стискається

В зв’язку зі складністю аналітичного розв’язку вище приведених систем рівнянь використаємо рівняння подібності руху рідини.

Всі члени рівняння (5) мають розмірність сили, що віднесена до об’єму. Для приведення рівняння до безрозмірного виду розділимо всі його члени на , в результаті отримаємо:

. (9)

Кожен доданок лівої частини рівняння (9) безрозмірний. З них можна отримати числа подібності. Для цього викреслимо символи диференціювання і символи, що характеризують напрям (заміна х і у не орієнтованим в певному напрямку лінійним розміром).

1. З першого доданку отримаємо число Фруда, яке характеризує відношення сил тяжіння до інерційних сил:

. (10)

2. З другого доданку отримаємо число Ейлера, що характеризує відношення сил тиску до інерційних сил:

. (11)

3. Третій доданок дає величину, обернену числу Рейнольдса:

. (12)

Числа Re, Eu, Fr отримані з рівнянь Нав’є-Стокса (6). крім цього з цих рівнянь додатково можна отримати число гомохронності, що враховує несталий характер руху в подібних потоках:

. (13)

В рівняння подібності, що описує рух потоку рідини, що фільтрується, не вводиться число Фруда, оскільки при фільтруванні сили тяжіння настільки малі порівняно з силами тиску та тертя, що ними можна знехтувати. Крім того, в рівняння подібності вводять параметричний критерій , який характеризує геометричні особливості системи, яка розглядається.

Рівняння подібності, що описує рух потоку рідини, що фільтрується, наводять в наступному вигляді:

, (14)

- еквівалентний діаметр каналу;

c, m, n – сталі, які визначають експериментально;

l – товщина шару осаду.

Знаходження швидкості осадження на основі рівняння подібності

Фактори, що впливають на швидкість:

1. товщина шару осаду

2. структура осаду

3. перепад тиску

4. температура (чим вища температура, тим вища швидкість, так як зменшується в’язкість)

В рівнянні подібності число Рейнольдса введене як визначальне тому, що при аналізі процесів фільтрування зазвичай виходять з фізичних властивостей рідини, її швидкості і лінійних розмірів системи.

Для ламінарної області (Re ≤ 35) залежність (14) має вигляд (15), а для турбулентної області (70 ≤ Re ≤ 70000) – вид (16):

; (15)

. (16)

В рівнянні (15) та (16) в якості визначального розміру прийнято еквівалентний діаметр каналів в шарі зернистого матеріалу, а швидкість потоку віднесена до суми перерізів каналів – так званому вільному перерізу.

Рух потоку рідини при фільтруванні зазвичай ламінарний, що дозволяє використовувати рівняння (15).

Перепишемо рівняння (15) в явному вигляді:

. (17)

Після перетворень:

і виразимо в ньому еквівалентний діаметр шару зернистого матеріалу через діаметр зерен (частинок) . Для цього скористаємось співвідношенням (18), що визначає еквівалентний діаметр каналу будь-якої форми.

Для шару зернистого матеріалу рівняння (18) може бути представлене у вигляді (19):

, (18)

, (19)

де - площа поперечного перерізу каналу,

П – повний змочений периметр каналу,

- об’єм пустот в шарі зернистого матеріалу,

- площа зерен.

Враховуючи, що

(20)

та

,

n – число зерен; . Приймемо V = 1 м³:

. (21)

Помножимо і розділимо на :

.

В даній формулі - фактор форми. Введемо поняття пористості – відношення об’єму пустот до об’єму слою.

, звідси (22)

Тоді

(23)

Зробивши заміни, отримаємо швидкість руху по каналу (швидкість фільтрування):

(24)

Швидкість через всю площу фільтру буде дорівнювати: