Лабораторная работа № 12

Основы кристаллооптики. Изучение кристаллов под микроскопом.

Цель работы: изучение распространения электромагнитных волн

в анизотропных средах; определение кристаллов

под микроскопом в ортоскопическом

и коноскопическом свете.

Введение.

Для анизотропного диэлектрика становится неверной простая зависимость D = εE, которой пользуются при описании любой изотропной среды.

В случае прохождения электромагнитной волны через анизотропную среду связь между D и Е задается более сложным соотношением

Эти уравнения можно переписать в более компактной форме

Девять величин являются постоянными среды и составляют тензор диэлектрической проницаемости, следовательно, вектор D равен произведению этого тензора на вектор Е.

Решения уравнений Максвелла в этом случае показывают, что тензор диэлектрической проницаемости должен быть симметричным, т.е. ε_kl = ε_lk.

Для любого кристалла можно найти три главных направления и связать их с координатными осями x, y, z. В этом случае тензор диэлектрической проницаемости примет диагональный вид и связь D и Е упростится

В выбранных таким образом координатах x, y, z выполняется соотношение

Это есть уравнение некого эллипсоида. Его называют эллипсоидом Френеля. Используя равенство ε = n², уравнение можно записать в виде

Полученное уравнение есть уравнение поверхности, называемой оптической индикатрисой. В общем случае это трехосный эллипсоид.

z

p n_z

0 n_y

n_z y

x

Рис. 1

Оптическая индикатриса обладает следующим важным свойством. Если из её центра провести прямую 0Р вдоль распространения волнового фронта, то центральное сечение, перпендикулярное этому направлению будет эллипсом, длины полуосей которого являются показателями преломления волн, распространяющихся в направлении 0Р.

Пусть в общем случае n_x ≠ n_y ≠ n_z. В кристаллофизике их принято обозначать n_g, n_m, n_p, где n_g - наибольший, а n_p - наименьший показатель преломления. В этом случае в индикатрисе найдутся два симметричных направления, в которых сечения будут круговыми. Эти направления будут лежать в плоскости n_g, n_p. В этих направлениях n = const и кристалл будет вести себя как изотропная среда. Эти направления называют оптическими осями. А такие кристаллы называют двуосными. К ним относятся кристаллы триклинной, моноклинной и ромбической сингоний.

Если n_m = n_p = n_o, a n_g = n_e, то трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения. Показатель преломления n_o называют обыкновенным, n_e - необыкновенным. У эллипсоида вращения индикатрисы такого кристалла только одно круговое сечение, поэтому их называют одноосными.

Если n_e > n_o, то кристалл называют оптически положительным. Если n_e < n_o, то такой кристалл называют оптически отрицательным. У оптически положительного кристалла индикатриса вытянута вдоль оптической оси, а у отрицательного - сплюснута.

Для более четкого понимания прохождения света через кристаллы вводят еще ряд поверхностей, которые описывают оптические свойства кристаллов. Если в качестве главных полуосей использовать отрезки, равные V_x , V_y , V_z , то получается поверхность, описываемая в декартовой системе координат уравнением

Её называют эллипсоидом Френеля.

Проанализируем несколько случаев прохождения света через одноосный

z

E_z n_e E^'_z

n_o x

y

Рис. 2

кристалл. Пусть вектор Е в падающей волне направлен вдоль оси Z, тогда для падающей волны, распространяющейся вдоль оси Х (рис. 2)

.

Внутри кристалла, если его оптическая ось параллельна оси Z, будет распространятся волна

, где V^'_x = c/n_e.

Совершенно аналогичные рассуждения нас приведут к случаю, если Е || Y, т.е. после выхода из кристалла свет имеет плоскую поляризацию параллельную соответствующей оси.

Пусть теперь вектор Е в падающем луче лежит в плоскости YZ и составляет угол α с осью Z (рис. 3).

z

E_z n_e E^'_z

E

α x

n_o

E_y y E^'_y

Рис. 3

Разложим Е на составляющий E_z и E_y, тогда в кристалле будут распространяться две волны со взаимно перпендикулярными колебаниями векторов Е. Они будут иметь разные скорости

В зависимости от толщины кристалла между E^'_z и E^'_y возникнет разность фаз δ и следовательно на выходе в общем случае получится эллиптически поляризованная волна.

Рассмотрим более общий случай, когда естественный свет падает на границу раздела двух сред под произвольным углом и произвольной ориентацией вектора Е (рис. 4). Сориентируем оси системы координат, главные оси кристалла и световую волну так, что n_e || Z, n_o || X, тогда рассматриваемый случай будет плоским.

E_z z

n_e

E_y φ

x

n_o

y

φ₁ φ₂

Рис. 4

Заменив естественную волну двумя плоскими волнами Е_z и Е_y, получим

, .

Так как n_e ≠ n_o, то φ₁ ≠ φ₂, следовательно в кристалле будут распространятся две разные волны со взаимно перпендикулярными векторами Е в различных направлениях. Впервые это явление открыл Эразм Бартолини, а объяснил его с волновых позиций Гюйгенс. Оно было названо двойным лучепреломлением.

Двойное лучепреломление наглядно иллюстрируют построения Гюйгенса. Пусть на границу раздела двух сред (воздух - кристалл) падает плоская волна. Если кристалл одноосный и оптически положительный, а оптическая ось параллельна границе раздела сред, то распространение света в кристалле можно изобразить поверхностями Френеля. Они описываются концом вектора скорости обыкновенной и необыкновенной волн.

Воздух

0

V_e

V_o

Кристалл n_o n_e

Рис. 5

В нашем случае распространение обыкновенной волны описывается сферой, а необыкновенной эллипсоидом вращения с полуосями V_o и V_e. На рис. 5 представлены построения Гюйгенса, которые показывают, что в кристалле будут распространяться две волны "обыкновенная n_o" и "необыкновенная n_е" по разным направлениям.

Световые волны, проходя через кристаллы, проявляют интерференцию. Эти явления очень красочны и информативны. По интерференционной окраске кристаллов можно судить об осности кристаллов, ориентации оптических осей, анизотропии показателя преломления.

Кристаллы наблюдают в поляризованном ортоскопическом и коноскопическом свете.

Рассмотрим прохождение поляризованного света через одноосный оптически положительный кристалл. Световые волны падают на поверхность кристалла перпендикулярно его поверхности и оптической оси. Вектор напряженности электрического поля Е световой волны составляет угол α с оптической осью (рис. 6). Плоскополяризованная волна в кристалле разлагается на две волны одинаковой частоты обыкновенную Е_о и

Оптическая ось

z

Е Е_е

α

Е_о x

Рис. 6

необыкновенную Е_е.

Пройдя через толщу кристалла, эти волны приобретут разность хода или разность фаз . Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний с разными амплитудами и разными фазами дадут нам новую волну с той же частотой. Координата вектора Е по осям х и z будет изменяться по закону

или

Чтобы получить траекторию результирующего колебания, следует из этих уравнений исключить время t. Представим Х в следующем виде

или

Возведем последнее выражение в квадрат, а уравнение Z = E_e cosωt умножив

обе части на sin φ и также возведя в квадрат, сложим с предыдущим.

и окончательно получим:

.

Это уравнение эллипса. Форма эллипса зависит от его полуосей и величин α и φ.

Таким образом, после прохождения линейнополяризованного света через кристаллическую пластинку, получаем световую волну, конец вектора Е которой, описывает кривую с эллиптическим торцевым профилем. Такой свет называют эллиптически поляризованным.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Толщина кристаллической пластинки такова, что

В таком случае Уравнение эллипса примет вид:

Это уравнение эллипса ориентированного относительно главных осей. Величины Е_о и Е_е зависят от угла ориентации плоскости поляризации падающей волны относительно оптической оси кристалла "α". В частности, если α = 45^о, то Е_о = Е_е, и тогда эллипс обращается в круг

.

При таком типе поляризации конец вектора Е описывает окружность. Такую поляризацию именуют циркулярной поляризацией.

2. Пусть теперь толщина кристаллической пластинки такова, что разность хода двух волн составляет

В этом случае , а уравнение эллипса преобразуется к виду:

.

Это есть прямая, но повернутая на угол α относительно оптической оси кристалла симметрично плоскости поляризации падающей волны.

Выходящая из такого кристалла световая волна имеет плоскую поляризацию.

3. И, наконец, пусть кристаллическая пластинка имеет толщину кратную одной длине волны.

.

Уравнение эллипса примет вид: . Это есть прямая, которая имеет ориентацию вектора Е такой же, как и в падающей плоскополяризованной волне. Выходящий из кристалла свет плоскополяризован.