12.3. Ортогональные планы второго порядка,

расчет коэффицентов уравнения регрессии

Выбор звездного плеча в композиционных планах Бокса–Уилсона может быть произвольным, однако расчеты коэффициентов уравнения регрессии при k < 5 существенно упрощаются, если величина плеча определяется исходя из следующего уравнения:

. (12.12)

Значения ², определенные по (12.12), приведены в табл. 17.

Таблица 17

Значения 2 для k факторов и n0 опытов в центре плана

n0	k				n0	k
	2	3	4			2	3	4
1	1.00	1.476	2.00		6	1.742	2.325	2.950
2	1.160	1.650	2.164		7	1.873	2.481	3.140
3	1.317	1.831	2.390		8	2.00	2.633	3.310
4	1.475	2.00	2.580		9	2.113	2.782	3.490
5	1.606	2.164	2.770		10	2.243	2.928	3.66

Выбрав , проведем следующее линейное преобразование квадратичных столбцов:

. (12.13)

Композиционные планы, полученные таким образом, называются ортогональными планами второго порядка.

Ортогональный план второго порядка при k = 2 и n₀ = 1 представлен в табл. 18. За его основу взят композиционный план для двух факторов (табл. 16) с общим числом опытов N = 9. Величину звездного плеча определим по табл. 17: ² = 1,  = 1. Средние значения элементов квадратичных столбцов в табл. 16 равны

. (12.14)

В математической статистике доказывается, что для ортогональных планов второго порядка все коэффициенты уравнения регрессии определяются независимо друг от друга по формуле

, (12.15)

а дисперсии коэффициентов равны

. (12.16)

Таблица 18

Ортогональный план второго порядка для двух факторов

№ опыта							y
1	+1	+1	+1	+1	+1/3	+1/3	y1
2	+1	+1	–1	–1	+1/3	+1/3	y2
3	+1	–1	–1	+1	+1/3	+1/3	y3
4	+1	–1	+1	–1	+1/3	+1/3	y4
5	+1	+	0	0	+1/3	–2/3	y5
6	+1	–	0	0	+1/3	–2/3	y6
7	+1	0	+	0	–2/3	+1/3	y7
8	+1	0	–	0	–2/3	+1/3	y8
9	+1	0	0	0	–2/3	–2/3	y9

Для определения дисперсии воспроизводимости необходимо выполнить серию опытов в центре плана. В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами для квадратичных эффектов (табл. 18) получаем следующее уравнение:

. (12.17)

Чтобы перейти к обычной записи уравнения регрессии в виде

, (12.18)

определим b₀ по формуле

(12.19)

с дисперсией, равной

. (12.20)

Значимость коэффициентов проверяется по критерию Стъюдента. Если

, (12.21)

где t_p(f ) — табличное значение критерия Стъюдента для р = 0,05 и числа степеней свободы дисперсии воспроизводимости, то коэффициент значимо отличается от нуля.

Коэффициенты уравнения регрессии, получаемые при помощи ортогональных планов второго порядка, определяются с разной точностью. В случае, когда k  4, согласно (12.16) имеем

;

;

; (12.22)

.

После исключения незначимых коэффициентов проводится проверка адекватности уравнения по критерию Фишера. Уравнение адекватно эксперименту, если

, (12.23)

где F_1-p (f_ад, f_воспр) — критерий Фишера для р = 0,05; f_ад = N – l — число степеней свободы дисперсии адекватности (l — число значимых коэффициентов в уравнении регрессии); f_воспр — число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.