12.2. Описание функции отклика в области, близкой

к экстремуму. Композиционные планы Бокса-Уилсона

В области, близкой к экстремуму, (или «почти стационарной области») функция отклика существенно нелинейна, поэтому для ее адекватного описания необходимо использовать нелинейные полиномы. В настоящее время для этой цели наиболее широко применяют полиномы второго порядка, для получения которых имеются хорошо разработанные планы эксперимента.

Для описания полиномом второго порядка эксперимента, реализованного для нахождения оптимальных условий процесса, число опытов N в плане должно быть не меньше числа определяемых коэффициентов в уравнении регрессии второго порядка для k факторов

. (12.4)

Выборочные коэффициенты (12.4) являются оценками соответствующих коэффициентов уравнения теоретической регрессии:

. (12.5)

В зависимости от числа рассматриваемых факторов число коэффициентов l уравнения регрессии (12.4) определяется по формуле

, (12.6)

где  — количество сочетаний из k факторов по два, равное числу эффектов парного взаимодействия.

В области, близкой к экстремуму, становятся значимыми эффекты парного взаимодействия и квадратичные эффекты. Поэтому то, что адекватное описание результатов эксперимента требует использования полиномов второго порядка, может служить признаком нахождения в почти стационарной области. Близость к этой области можно также установить, поставив дополнительно к ПФЭ 2^k или ДФЭ 2^k-1 серию опытов в центре плана. Среднее значение результатов этих опытов является оценкой для свободного члена уравнения (12.5):

. (12.7)

Выборочный коэффицент b₀, вычисляемый по формуле

, (12.8)

оценивает сумму свободного и квадратичных членов:

. (12.9)

Поэтому, чем больше разность

, (12.10)

тем значимее квадратичные эффекты.

Для описания поверхности отклика полиномами второго порядка независимые факторы в планах должны принимать не менее трех разных значений. Эксперимент, в котором каждый из k факторов рассматривается на трех уровнях и реализуются все возможные сочетания уровней факторов, является ПФЭ типа 3^k. В качестве примера в табл. 15 представлена матрица планирования ПФЭ 3².

Проведение ПФЭ 3^k требует большого числа опытов, намного превышающего число определяемых коэффициентов l в уравнении (12.4) уже при k > 2:

k	2	3	4
3k	9	27	81
l	6	10	15

Таблица 15

Матрица планирования пфэ 32

№ опыта	х1	х2	y
1	–1	–1	y1
2	0	–1	y2
3	+1	–1	y3
4	–1	0	y4
5	0	0	y5
6	+1	0	y6
7	–1	+1	y7
8	0	+1	y8
9	+1	+1	y9

Сократить общее число опытов при условии получения несмешанных оценок для линейных эффектов и эффектов взаимодействия можно с помощью композиционных планов Бокса-Уилсона. Ядро таких планов при k < 5 составляет ПФЭ 2^k, и полуреплика от него при k  5.

Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным эксперименту, необходимо:

1) добавить 2k звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства. Координаты звездных точек в общем случае равны

,

где  — расстояние от центра плана до звездной точки, или звездное плечо;

2) увеличить число экспериментов в центре плана n₀.

Общее число опытов в матрице композиционного плана при k  4 составляет

. (12.11)

Рассмотрим построение композиционных планов на примере k = 2 (рис. 4). Точки 1, 2, 3, 4 образуют ПФЭ 2², точки 5, 6, 7, 8 являются звездными точками с координатами и , координаты n₀ опытов в центре плана нулевые — (0, 0).

Композиционный план второго порядка для двух факторов представлен в табл. 16, при этом в центре плана выполнена серия из трех опытов (№ 9–11).

Рис. 4. Композиционный план второго

п орядка для двух факторов

Таблица 16

Композиционный план второго порядка для двух факторов

№ опыта							y
1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	y1
2	+1	+1	–1	–1	+1	+1	y2
3	+1	–1	–1	+1	+1	+1	y3
4	+1	–1	+1	–1	+1	+1	y4
5	+1	+	0	0	2	0	y5
6	+1	–	0	0	2	0	y6
7	+1	0	+	0	0	2	y7
8	+1	0	–	0	0	2	y8
9	+1	0	0	0	0	0	y9
10	+1	0	0	0	0	0	y10
11	+1	0	0	0	0	0	y11