10.3. Полный факторный эксперимент типа 22: матрица
планирования, вычисление коэффициентов уравнения регрессии
При полном факторном эксперименте (ПФЭ) число опытов равно числу всех возможных комбинаций уровней факторов и при одинаковом числе уровней для каждого фактора определяется формулой
, (10.10)
где n — число уровней, k — число факторов ( j = 1, 2, …, k). ПФЭ 2k называется такое проведение опытов, при котором каждый из k факторов рассматривается только на двух уровнях. При этом уровни факторов представляют собой границы варьирования данного параметра.
Допустим, что изучается влияние на выход продукта (y) двух параметров (факторов): температуры (z1) в интервале 50–100 оС и давления (z2) в диапазоне 1–2 атм. При реализации ПФЭ требуется выполнить N = 22 = 4 опыта. Произведем кодирование факторов (замену переменных):
, (10.11)
где
,
, (10.12)
и 
— верхняя
и нижняя границы варьирования j-фактора.
Точка
называется центром
плана, или
основным
уровнем;
величины
и
— интервалами варьирования по осям z1
и z2.
Как следует из уравнений (10.11) и (10.12), для переменных х1 и х2 нижний уровень равен –1, верхний — +1, координаты центра плана равны нулю. В табл. 8 представлен план ПФЭ 22, который в безразмерном масштабе может быть интерпретирован в виде четырех вершин квадрата (рис. 1).
Таблица 8
Полный факторный эксперимент 22
№ опыта |
Факторы в натуральном масштабе |
Факторы в безразмерном масштабе |
Выход продукта, y |
||
z1 (oC) |
z2 (атм) |
x1 |
x2 |
||
1 |
50 |
1 |
–1 |
–1 |
y1 |
2 |
50 |
2 |
–1 |
+1 |
y2 |
3 |
100 |
1 |
+1 |
–1 |
y3 |
4 |
100 |
2 |
+1 |
+1 |
y4 |
Р
ис. 1.
Полный факторный эксперимент 22
Вычислим коэффициенты линейного уравнения регрессии
. (10.13)
Для нахождения b0 в план ПФЭ надо ввести столбец фиктивной переменной х0 = 1; соответствующая матрица планирования представлена в табл. 9. В математической статистике доказывается, что при планировании эксперимента по предложенной схеме и нахождении коэффициентов уравнения регрессии по методу наименьших квадратов любой коэффициент определяется скалярным произведением столбца y на соответствующий столбец факторов хj в безразмерном масштабе (табл. 9), деленным на число опытов в матрице планирования:
. (10.14)
Таблица 9
Матрица планирования пфэ типа 22 с фиктивной переменной
№ опыта |
х0 |
х1 |
х2 |
y |
1 |
+1 |
–1 |
–1 |
y1 |
2 |
+1 |
–1 |
+1 |
y2 |
3 |
+1 |
+1 |
–1 |
y3 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
y4 |
Так, значение коэффицента b1 определяется выражением
. (10.15)
Если ввести в рассмотрение эффект парного взаимодействия, то уравнение регрессии примет вид
. (10.16)
Для нахождения коэффициента b12 необходимо расширить матрицу планирования, представленную в табл. 9, добавив в нее столбец x1x2, характеризующий эффект взаимодействия (табл. 10).
Таблица 10