a1( R1 UR2 ) R3a2. Во втором случае существует w A такое, что a1R2w и wR3a2 . Далее a1R2w a1( R1 UR2 ) w и поэтому получаем a1( R1 UR2 ) R3a2, что и доказывает равен-

ство а). ♦ Равенство в) доказывается аналогично.

Другой дистрибутивный закон записывается в виде отношения включения:

с) (R1IR2 ) R3 (R1 R3 )I(R2 R3 )

d) R3 (R1IR2 ) R3 R1IR3 R2

Данные соотношения доказываются аналогично. Заметим, что здесь нельзя заменить отношение включения равенством. В качестве упражнения предоставляется доказать следующие свойства отношений:

6.(R1UR2 )−1 = R1−1UR2−1

7.(R1IR2 )−1 = R1−1IR2−1

8.R1 R2 R1−1 R2−1

9. R1 R2 R1 R R2 R и R R1 R R2, R

Упражнения.

1.Доказать, что R−1 = (R)−1 для любого бинарного отношения R.

2.Доказать, что если R1 R2, то

а. R1−1 R2−1

3. Пусть А - конечное множество из n элементов. Найти число бинарных отношений на множестве А.

22