§ 2. Принципы перечисления и примеры.

Элементарные тождества.

При решении перечисленных задач теории множеств широко используются следующие правила для подсчета.

1. Правило равенства. Если A и B - конечные множества и существует биектив-

ное отображение F: A → B, то A = B

2. Правило суммы. Если A1, … , An - конечные, попарно непересекающиеся множества, то

A1U...UAn = A1 +...+An

3. Правило произведения. Если A1, … , An - конечные множества, то

A1 ×...×An = A1 ×...× An .

Применим данные принципы для решения перечисленных задач, связанных с введенными объектами.

1. Число отображения n-множества в m-множество. Пусть A = {a1, … , an } и B = {b1, … , bm}. Тогда любое отображение F: A → B можно задать набором длины n вида (F(a1), … , F(an)) элементов из множества B. При этом разные наборы такого вида определяют разные отображения, и разные отображения дают разные наборы. Значит,

имеется биективное отображение между множеством всех отображений F: A → B и

множеством B× … × B(n раз). Следовательно, число отображений F: A → B дается формулой

B A = mn

Если нас интересует число частичных отображений из A в B, то нетрудно заметить, что оно дается формулой

(1 + B) A = (1 + m)n

2. Число инъективных отображений n-множества в m-множество. Любое инъек-

тивное отображение F: A → B однозначно задается набором длины n из элементов мно-

жества B вида (F(a1), … , F(an)), где F(ai) ≠ F(aj) при i ≠ j. Элемент F(a1) может принимать

Bзначений, при фиксированном F(a1) элемент F(a2) может принимать B - 1 значений

ит.д. Следовательно, число инъективных отображений F: A → B равно

9

B( B −1) ( B − A +1) = m(m −1) (m − n +1)

Следствие. Число подстановок n-множества А равно n! = n×(n-1) … 2×1.

3. Число k-элементных подмножеств n-множества. Пусть А = {a1, … , an} и тре-

буется найти число подмножеств B A с условием B = k , где 0 ≤ k ≤ n. Обозначим че-

дому Bi можно поставить в соответствие k! (по числу биекций Bi на себя) инъективных

n

ставлено в соответствие * k! инъективных отображений. Ясно, что различные под-

k

множества Bi дают попарно различные инъективные отображения F: Nk → A, и каждое инъективное отображение F: Nk → A может быть получено указанным образом. Значит,

число инъективных отображений F: Nk → A равно числу nk * k!, т.е.

n n(n-1) …(n-k+1) = k * k!

всех целых неотрицательных чисел. Числа nk называются биномиальными коэффици-

ентами.

Учитывая важность формулы (*), приведем еще одно доказательство ее. Будем доказывать формулу (*) индукцией по n + k. Для n + k = 1 имеем очевидное утверждение. Пусть даны n, k и пусть формула (*) верна при всех n′, k′ , таких, что n′ + k′< n + k.

10

Фиксируем элемент a A, где A = n . Разобьем все k-подмножества множества А на

два класса:

1.Те, которые содержат элемент a

2.Те, которые не содержат элемента a.

Вслучае 1. имеем n −1 подмножеств, и по предположению индукции выполнено

k −1

Ясно, что если A1 ≠ A2, то FA1 ≠ FA2 и любому отображению F: A → {0,1}соответствует

A1 A , где A1 = {a a A и F(a) = 1}. Значит, нужное биективное соответствие установ-

лено и, согласно предыдущему, имеется 2n отображений F: A → {0,1}. Отсюда,

B(A) = 2n .

Следствие. Справедливо тождество

11

n

∑nk=0 k = 2n

5.Мультимножества. В ряде случаев приходится рассматривать объекты, в которых элементы множества повторяются. Известный пример - корни алгебраического уравнения. Определим мультимножество над множеством А как пару (A,r) множества А

иотображения r: A → N0 = {0, 1, … }, задающего кратность элементов из множества А.

Мощностью мультимножества (A,r) называется число ∑a A r(a) . 1. Число мультимножеств мощности m над n-множеством.

Пусть А = {a1, … , an}. Тогда число мультимножеств мощности m равно числу отобра-

жений r: A → N0 с условием

r(a1) + r(a2) + … + r(an) = m

Каждому такому отображению r поставим в соответствие набор из элементов 0, 1 вида

r = (0r(a1) 10r(a2 ) 1 10r(an ) ) ,

где 0r(ai ) означает 0, повторенный r(ai) раз. Набор r имеет длину m + n - 1и содержит m

нулей и n - 1 единиц. Ясно, что разным отображениям r1 : A → N0, r2 : A → N0 соответст-

вуют разные наборы r1, r2 . Далее, произвольный набор из элементов 0, 1 длины m + n -1,

содержащий n - 1единиц определяет отображение r: A → N0 с условием ∑a A r(a) = m,

если положить r(a1) равным числу нулей до первой единицы слева, r(a2) равным числу нулей между первой и второй единицами слева и т.д. Следовательно, число интересую-

щих отображений r: A → N0 равно числу наборов из 0, 1 длины m+ n -1, содержащих n - 1 единиц. Поскольку каждый такой набор однозначно определяется множеством номеров координат, принимающих значение единица, то интересующее нас число равно числу (n-1)-подмножеств (m+n-1)-множества, которое, согласно предыдущему, равно

m + n −1n −1

Если нас интересует число невырожденных мультимножеств (A,r) мощности m над n-

множеством А, т.е. таких, у которых r(a) > 0 для всех a A, то оно равно

m −1n −1

Предоставляется этот факт доказать самостоятельно.

Следствие. Число одночленов x1α1 x2α2 xαn n полной степени m из кольца много-

членов K[x1, … , xn] равно

12

2. Число перестановок мультимножеств мощности m. Пусть дано мультимноже-

ство (A,r), где А = {a1, … , an} и r: A → N0 , причем ∑a A r(a) = m. Перестановкой муль-

тимножества (A,r) будем называть отображение F: {1, … , m} → A, такое, что

F−1(a) = r(a), a A.

Ясно, что любая перестановка F мультимножества однозначно определяется выбором r(ai) элементов из {1, … , m}, переходящих в ai . Это можно сделать числом способом, равным

6. Свойства биномиальных коэффициентов и связанные с ними тождества.

В комбинаторных расчетах биномиальные коэффициенты играют важную роль. Для оперирования с ними полезны следующие формулы.

♦ Запишем последовательность равенств

13

…

Теперь складываем данные равенства, получаем нужное тождество. ♦

n n

7.max = n 0≤k≤n k 2

♦ Рассматриваем отношение

б) очевидно. ♦

9. Пусть x - некоторое переменное из множества действительных чисел, n - натуральное число. Тогда справедливо

14

(1 + x)n = ∑nk=0 nk xk

Полагая x = 1 и, x = -1, получаем тождества

9а. ∑nk=0 nk = 2n

Рассматривая очевидное тождество

(1 + x)n(1 + x)m = (1 + x)n+m (n, m - натуральные числа)

и подсчитывая справа и слева коэффициент при xk , 0 ≤ k ≤ n+m получим тождество Вандермонда:

Используя тождества 4, 9а, 9б легко доказываются тождества

Перенесем влево член при i = 0 и разделим обе части равенства на x.

Полагая x = 0, находим постоянную интегрирования С:

15

Теперь полагаем x = 1 и получаем нужное тождество. ♦

16