3. Алгебра множеств.
Зафиксируем непустое множество E и рассмотрим его булеан B(E). Множество B(E) замкнуто относительно операций объединения, пересечения и дополнения мно-
жеств - элементов B(E). Множество B(E) вместе с введенными операциями , ∩, - называется булевой алгеброй подмножеств множества E. Перечислим основные законы, которым подчиняются эти операции:
1. |
|
A |
= A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. A |
B = B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A |
|
|
|
законы коммутативности |
|||||||||||||||
|
|
I |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.AUB = BUA |
|
|
|
|
||||||||||||||||
4 . (A |
B) |
I |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= A (B C) |
законы ассоциативности |
|||||||||||||||||||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
I |
I |
|
|||||||||
5.(AUB)UC = AU(BUC) |
|
|||||||||||||||||||
6. A |
(B |
|
|
|
C) |
= (A |
B) |
U |
(A |
|
||||||||||
|
|
|
C) |
|||||||||||||||||
|
|
I |
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
I |
законы дистрибутивности |
|||||
7 . AU(BIC) = (AUB)I(AUC) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. A |
B = A |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
B |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
законы дополнения |
||
9. AUB = |
|
|
I |
|
|
|
|
|||||||||||||
A |
B |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. A A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
законы идемпотентности |
|||||||||||
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. AUA = |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12. AIE = A
13. AU = A
14. AUA = E
15. AIA =
Все данные равенства могут быть доказаны по единой схеме, использующей определение равенства двух множеств А и B:
A = B A B и B A.
В качестве примера приведем доказательство равенства 7.
Пусть x АU(BIC) . Тогда либо x А, либо x B IC. Если x А, то x A UB и x АUC, следовательно, x (AUB)I(AUC) . Если x B IC, то
5
X B и x C, значит x A UB и x A UC. Отсюда, x (A UB)I(AUC) . Таким
образом, установлено включение |
|
A U(BIC) (AUB)I(AUC) |
(а) |
Пусть теперь x (A UB)I(AUC) . Тогда x A UB и x АUC. Если x A, то
x A U(BIC) . Если x A , то тогда должно быть x B и x C. Отсюда следует, что
x B ICи, следовательно, x A U(BIC) |
|
Таким образом, установлено включение |
|
(A UB)I(AUC) AU(BIC) |
(в) |
Доказанные включения (а) и (в) равносильны равенству 7.
Доказательства остальных равенств 1 - 15 предлагается проделать самостоя-
тельно.
Мы будем считать допустимыми следующие способы образования множеств:
1.Из множества элементов можно выделить его часть посредством точно сформулированного признака.
2.Если имеется совокупность множеств, то можно получить новое множество, являющееся объединением множеств этой совокупности.
3.Для каждого конечного множества можно образовать множество всех его подмножеств.
4.Для любой пары множеств можно образовать новое множество, являющееся их прямым произведением.
Известно, что неограниченное использование средств при построении множеств приводит к логическим парадоксам (парадокс Рассела, парадокс Кантора и др.).
В данном курсе будут применяться только конструкции конечного типа над конечными множествами.
Упражнения
1. Пусть A1, … , An , B - подмножества некоторого фиксированного множе-
ства E.
Доказать равенства:
6
n |
n |
а) ( UAi )IB = U(Ai IB)
i=1 |
i=1 |
n |
n |
в) ( IAi )UB = I(Ai UB)
i=1 |
i=1 |
nn
c)UAi = IAi
i=1 i=1
nn
d)IAi = UAi
i=1 i=1
2. Для произвольных множеств А и B положим
A B = (AIB)U(AIB)
Доказать равенства:
a)A B = B A
b)(A B) C = A (B C)
c)A = A
d)A A =
e)AI(B C) = (AIB) (AIC)
f)A = B A B =
3. Доказать равенства:
a)(AUB) × C = (A × C)U(B × C)
b)(AIB) × C = (A × C)I(B × C)
c)(AIB) × (CID) = (A × C)I(B × D)
4.Установить биективное соответствие между множеством всех отображений множества А в двухэлементное множество {0, 1} и булеаном множества А.
5.Пусть F: X → Y, A X, B X
Доказать:
a)A B F(A) F(B)
b)F(AUB) = F(A)UF(B)
c)F(AIB) F(A)IF(B)
причем возможно и строгое включение.
d) F(AIB) = F(A)IF(B) для любых подмножеств А и B тогда и только тогда,
когда F - инъективно.
7
8