§ 6. Планарные графы

1. В некоторых случаях требуется, чтобы изображение графа удовлетворяло определенным условиям. Будем изображать графы так, что его вершинам соответствуют точки плоскости, а ребрам непрерывные, спрямляемые линии без самопересечений, причем ребра не должны иметь общих точек кроме инцидентных им вершин.

Такое изображение будем называть плоским графом, а граф, изоморфный плоскому, назовем планарным. Легко указываются примеры планарных графов. Например, K2, 3, K4. В то же время не удается установить планарность графов K3, 3, K5. Ниже будет доказано, что графы K3, 3, K5 не являются планарными. Отметим, что справедлив факт, приводимый без доказательства.

Теорема 1. Почти все графы не являются планарными.

Рассмотрим сначала укладку графов в действительном трехмерном пространст-

ве R3.

Теорема 2. Каждый граф укладывается в R3.

Все вершины произвольного графа G помещаем в различных точках координатной оси х. Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через ось х, и зафиксируем |E| различных таких плоскостей. Теперь каждое ребро (u, v) изобразим полуокружностью, проходящей в соответствующей плоскости через вершины u, v. Ясно, что различные ребра не будут пересекаться кроме как в общих вершинах.

2. Пусть G – плоский граф. Определим отношение эквивалентности на множестве точек плоскости: объявим две точки u и v эквивалентными, если их можно соединить непрерывной, спрямляемой, без самопересечений кривой, не пересекающей ребра графа.

Легко проверить данное отношение есть отношение эквивалентности. Поэтому вся плоскость разбивается на классы эквивалентных точек. Класс эквивалентных точек плоскости называется гранью плоского графа.

Пример. Приведенный ниже граф имеет 4 грани.

99

Пусть G = (V, E) – плоский граф, такой, что n = |V|, m = |E|, f – число граней. Теорема 3 (Эйлер). Для всякого плоского связного графа G справедливо соот-

ношение

n – m+f = 2

Доказываем индукцией по m при фиксированном n. Поскольку G связен, то m ≥ n – 1. Пусть m = n – 1. В силу связности G он является деревом. Значит в G нет циклов и потому f = 1 и теорема справедлива для этого случая.

Пусть она справедлива для всех m, таких, что n – 1 ≤ m < m1. Докажем ее для m1. Пусть G – связный граф, плоский с n вершинами и m1 ребрами, имеющий f гра-

ней.

Поскольку m1 > n – 1, то G содержит цикл С. Пусть е – ребро, принадлежащее циклу. Тогда е принадлежит разным граням. Удалим ребро е из графа G. Тогда эти две грани сливаются в одну, при этом граф G11 полученный из G удалением е, связен, по-

скольку е лежит на цикле.

Граф G1 имеет n вершин, m1 – 1 ребер, f – 1 граней. По предположению индукции справедливо соотношение

n – (m1 – 1)+(f – 1) = 2

Отсюда n – m1+f = 2, что и доказывает утверждение.

Следовательно, число граней планарного графа определяется соотношением f = m – n+2

3. Используя теорему Эйлера можно доказывать непланарность конкретных

графов.

Пусть G – планарный граф. Обозначим через ϕk – число граней, ограниченных k ребрами.

Поскольку рассматриваются графы без петель и параллельных ребер, то

ϕ0 = ϕ1 = ϕ2 = 0.

Справедливы следующие соотношения: f = ϕ3+ϕ4+ ...

2m = 3 ϕ3+4ϕ1+...

В первом соотношении просуммированы все грани, во втором – ребра, ограничивающие каждую грань, при этом каждое ребро учитывается дважды.

Рассмотрим граф К3, 3. Для него n = 6, m = 9. Пусть K3, 3 – плоский граф. Тогда должно быть f = 9 – 6+2 = 5 граней.

100

Для графа K3, 3 нет циклов длины 3, поэтому ϕ3 = 0. Следовательно, должно быть выполнено

5 = ϕ4+ϕ5+ ...

18 = 4 ϕ4+5ϕ5+ ...

Отсюда получаем (т.к. ϕk ≥ 0), что –2 ≥ 0 – противоречие.

Рассмотрим теперь граф К5. Для него n = 5, m = 10. Если бы граф К5 был плоским, то должно быть f = 10 – 5+2 = 7. Следовательно, должно быть выполнено

7 = ϕ4+ϕ5+ ...

20 = 4 ϕ4+5ϕ5+ ...

Отсюда следует, что –1 ≥ 0 – противоречие.

В качестве упражнения предлагается доказать, что граф Е4 – (четырехмерный куб) – не является планарным.

4.Имеется несколько критериев планарности графа. Приведем без доказательства критерий Понтрягина-Куратовского. Для этого определим понятие гомеоморфизма графа. Операцией разбиения ребра e = (u, v) называют операцию замены ребра е двумя ребрами e1 = (u, w) и e2 = (w, v), где w – новая вершина. Два графа называют гомеоморфными, если они могут быть получены из одного графа с помощью операций разбиения ребер.

Справедлива Теорема (Понтрягин-Куратовский). Граф планарен тогда и только тогда, когда

он не содержит подграфов, гомеоморфных К3, 3 или К5.

5.Для характеристики непланарных графов используются различные меры, из которых укажем две. Толщина графа G есть число t(G) – наименьшее число его планарных подграфов, объединение которых дает граф G. Очевидно, что толщина планарного графа есть 1.

Приведем значение толщины некоторых графов:

Здесь [x], ]x[ – ближайшие целые для х, удовлетворяющие [x] ≤ x ≤ ]x[.

101

Род графа G определяется как минимальное число ручек γ(G), которые надо прикрепить к сфере, чтобы уложить граф G. Ясно, что для плоского графа G γ(G) = 0 поскольку укладка на плоскости равносильна укладке на сфере.

Приведем значения рода некоторых графов.

γ(En ) = 1 + (n − 4)2n−3

γ= (n − 3)(n − 4) (Kn ) 12

102