- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •§ 1. Множества. Отображения.
- •1. Множества.
- •2. Отображения.
- •3. Алгебра множеств.
- •Упражнения
- •§ 2. Принципы перечисления и примеры.
- •Элементарные тождества.
- •Упражнения.
- •§ 3. Бинарные отношения.
- •1. Определения.
- •2. Операции над отношениями.
- •3. Свойства операций над отношениями.
- •Упражнения.
- •§ 4. Специальные классы бинарных отношений.
- •1. Отношения эквивалентности.
- •2. Отношения толерантности.
- •3. Отношения частичного порядка.
- •Упражнения.
- •§ 5. Элементы теории подстановок.
- •Упражнения.
- •§ 6. Порождение сочетаний и перестановок.
- •ГЛАВА II. МЕТОДЫ ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ
- •§ 1. Метод включения-исключения.
- •§ 2. Метод рекуррентных соотношений
- •§ 3. Производящие функции и формулы обращения
- •§ 4. Обращение Мебиуса.
- •Упражнения
- •ГЛАВА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГРАФОВ.
- •§ 1. Основные понятия теории графов.
- •§ 2. Эйлеровы графы.
- •§ 3. Гамильтоновы графы.
- •§ 4. Кратчайшие пути.
- •§ 5. Деревья.
- •§ 6. Планарные графы
- •§ 7. Раскраска графов
- •§ 8. Потоки в сетях.
- •Упражнения.
- •ЛИТЕРАТУРА
|
∑nj=1a ij = 1 |
||||
для всех |
i |
|
|
|
и |
1, n |
|||||
|
∑in=1a ij = 1 |
||||
для всех |
j |
|
|
||
1, n |
|||||
Дважды стохастические матрицы играют большую роль в теории вероятностей. С перманентами таких матриц связана знаменитая проблема Ван дер Вардена, поставленная им в 1926 году: 1. Доказать, что для любой дважды стохастической матрицы А справед-
ливо |
per A ≥ |
n! |
|
nn |
|||
|
|
2. Равенство достигается лишь для (n × n)-матрицы J = (1/n), все элементы которой равны 1/n.
Эта проблема была положительно решена в 1980 году.
Упражнения
1. Найти число r-мерных наборов чисел 0, 1, 2, 3, в которых каждое число 1, 2, 3 появится хотя бы один раз.
Ответ: 4r - 3 3r + 3 2r -1
2. Пусть a1, a2, … , an - целые неотрицательные числа. Доказать соотношение
n |
∑Min(aia j )+K+(−1) n−1 Min(a1,K,a n ) |
|
|
|
||
Max (a1, a2, … , an) = ∑ai − |
|
|
|
|||
i=1 |
i<j |
|
|
|
|
|
3. Решить рекуррентное уравнение |
|
|
|
|
|
|
an + 6an-1 + 12an-2 + 8an-3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
a0 = 1, a1 = -2, a2 = 8 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
n |
|
(−2)n |
|
|
Ответ: an = |
|
− |
|
+1 |
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Вычислить перманент (n × n)-матрицы
74
1 1 |
1 2 ... |
1 n |
|
2 2 ... |
|
2 1 |
2 n |
|
... |
... ... |
... |
|
n 2 ... |
|
n 1 |
n n |
Ответ: (n!)3
75