§ 6. Порождение сочетаний и перестановок.
1.Рассмотрим теперь алгоритмические вопросы, связанные с порождением сочетаний и перестановок. Пусть дано множество А = {1, 2, … , n}.
Порождение сочетаний. Приведем алгоритм, порождающий все сочетания (подмножества) множества А.
Алгоритм “сочетания”.
1.Дано: множество А. Выход: последовательность подмножеств А.
2.Начало: Пустое множество .
3.Пусть порождено множество S. Тогда следующее множество S′получается включением в S наименьшего элемента, не принадлежащего S, и удалением из него всех элементов, меньших включенного. Если таких элементов нет, стоп.
♦ Справедливость алгоритма следует индукцией по n, если заметить, что алгоритм порождает сначала все подмножества множества A′= {1, 2, , n - 1}, затем повторяет эту последовательность, добавляя к каждому подмножеству n. Последним членом в последовательности будет само множество А, и алгоритм автоматически остановится. ♦ Укажем теперь алгоритм, который порождает все подмножества множества А, так, что каждое следующее отличается от предыдущего не более, чем на один элемент.
Данный алгоритм определим индуктивно.
Алгоритм “Сочетания добавлением/изъятием одного элемента”.
Если n = 1, то выход алгоритма есть последовательность , {1}.
Пусть для n - 1 выходом алгоритма есть последовательность Ln-1 . Обозначим
Ln−1 - последовательность Ln-1, написанную в обратном порядке. Тогда для n выходом алгоритма будет последовательность
Ln = Ln-1 , Ln−1 {n},
где Ln−1 {n}означает, что к каждому члену последовательности Ln−1 добавлен эле-
мент n.
Пример: L2 = , {1}, {1, 2}, {2}
L3 = , {1}, {1, 2}, {2}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 3}, {3}.
Справедливость алгоритма легко устанавливается индукцией по n, если заметить, что Ln-1 заканчивается множеством {n - 1}. Первая половина последовательности Ln совпадает с Ln-1 и по индукции удовлетворяет нужным требованиям. Следующий элемент после Ln-1 есть {n - 1, n}, и затем проходится последовательность Ln-1 в обратном порядке с
38
добавлением элемента {n}, и нужные требования снова выполняются. Поскольку первый элемент в Ln-1 есть , то последний элемент в Ln есть {n}. Если длина Ln-1 есть 2n-1 , то длина Ln есть
2 2n-1 = 2n . ♦
Представим теперь алгоритм, который порождает все r-сочетания n-множества
А = {1, 2, … , n} в лексикографическом порядке. Каждое r-сочетание представляется числами a1 < a2 < … < ar.
Начало алгоритма: a1 = 1, a2 = 2, … , ar = r.
Пусть порождено r-сочетание a1, a2, … , ar . Тогда определяется наибольшее ai, такое, что ai + 1 не входит в данное сочетание. Если таких ai нет (это происходит только в случае a1 = n - r + 1, … , ar = n ), то стоп.
Если такое a |
i |
есть, то образуем новое сочетание a ′ |
,K,a |
′ , полагая |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
r |
||
a ′ = a |
,K,a |
|
′ = a |
i−1, |
a |
′ = a |
i |
+1,a |
i+1 |
′ = a |
i |
+ 2,K,a |
r |
′ = a |
i |
+ r − i . |
|||
1 |
1 |
|
|
i−1 |
r |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Проиллюстрируем алгоритм для n = 4, r = 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Шаги |
|
|
Сочетания |
|
ai |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1,3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1,4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2,3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2,4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
3,4 |
|
|
|
стоп |
|
|
|
||
Предоставляется доказать в качестве упражнения индукцией по n, что описанный алгоритм порождает все r-сочетания n-множества.
2. Перейдем теперь к вопросу порождения n-перестановок
n-множества А = {1, 2, … , n}. Определим сначала индуктивный алгоритм А(n). Для n = 1 выход А(1) есть перестановка (1). Пусть для n - 1 алгоритм построил все (n - 1)- перестановки чисел 1, 2, … , n - 1. Тогда А(n) действует так.
Каждой (n - 1)-перестановке b1, … , bn-1 чисел 1, 2, … , n - 1 ставится в соответствие n перестановок чисел 1, 2, … , n следующим образом:
(b1′,K,b′n−1 |
,1) , |
где b′i |
= bi |
+1, i = |
|
|
||||
1, n −1 |
||||||||||
(b′′,K,b′′ |
,2) , |
где b′′= b |
i |
если b |
i |
= 1 |
|
|||
1 |
n−1 |
|
i |
|
|
|
|
|
||
39
|
|
b′′ |
= b |
i |
+ 2 |
|
если b |
i |
≥ 2. |
||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b(n) ,K,bn |
,n) , где b(n) = b |
|
i = |
|
|
||||||
, |
1, n −1 |
||||||||||
1 |
n−1 |
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
Корректность данного алгоритма следует из того, что для любого s |
1, n |
последова- |
|||
тельность |
b(s) ,K,b(s) |
есть перестановка чисел 1, 2, … , s - 1, s + 1, … , n. |
|||
|
1 |
n−1 |
|
|
|
Представим теперь алгоритм порождения всех n! перестановок n-множества
А = {1, 2, … , n} , в котором переход от одной перестановки к следующей осуществляется одной транспозицией соседних элементов. Транспозиция - это перемена местами двух элементов. Каждый элемент снабжается “направлением”, обозначаемым “→“ или “←“. Число k называется подвижным, если существует меньшее его число, соседнее с ним со стороны стрелки.
Алгоритм “Перестановки”.
← ← ←
Начало - конфигурация 1 2 ... n
Шаг алгоритма
1.Если нет подвижных элементов, то стоп.
2.Находится наибольшее подвижное число m
3. Число m переставляется с соседним элементом, на которое указывает направление m.
4.Направления всех элементов k, k > m меняются на противоположные.
5.Повторить шаг 1.
Проиллюстрируем алгоритм для n = 3.
Шаг |
Конфигурация |
Максимальное |
1 |
|
подвижное число |
← ← ← |
3 |
|
|
1 2 3 |
|
2 |
← ← ← |
3 |
|
1 3 2 |
|
3 |
← ← ← |
2 |
|
3 1 2 |
|
4 |
→ ← ← |
3 |
|
3 2 1 |
|
5 |
← → ← |
3 |
|
2 3 1 |
|
40
6 нет, стоп
← ← →
2 1 3
41
Корректность данного алгоритма устанавливается индукцией по n. Пусть алгоритм правильно работает для n, и покажем его правильность для n + 1. (Случай n = 1
← ← ← ←
тривиален). Ясно, что если начинать работу с конфигурации 1 2 ... n n +1 , что n + 1 -
максимальное подвижное число, и оно им остается до тех пор, пока не будет получена
← ← ←
конфигурация n +1 1 ... n . При этом будут порождены n+1 перестановок, в которых число n+1 занимает места n + 1, n, … , 1. Теперь максимальное подвижное число n, и переставляются элементы множества 1, 2, … ,n. Теперь снова максимальное подвижное число n + 1, после смены его направления оно будет двигаться влево n + 1 раз, порождая
→
n + 1 перестановок. Когда будет получена перестановка a1 a2 … an n +1 , число n+1 не будет неподвижным, и алгоритм будет применяться к множеству
1, 2, …n, после чего число n + 1 снова становится подвижным. Таким образом, алгоритм порождает n + 1 перестановок и применяется к множеству 1, 2, … , n. Когда будет достигнута последняя перестановка чисел 1, 2, … , n, то число n +1 через n + 1 шагов перестанет быть подвижным, и алгоритм останавливается. Общее число шагов алгоритма
(n + 1) n! = (n + 1)!.
42