I. Простейшая двухмерная модель.
Рассмотрим вначале простейшую двумерную модель проноса материала через поворот. Данная модель включает в себя следующие упрощения:
- угол поворота составляет 90 градусов.
- ширина коридора до и после поворота одинаковая.
- проносимый материал считается тонкой линией.
Требуется определить наибольшую длину материала, способного пройти через такой поворот.
Рассмотрим рисунок, проясняющий рассматриваемую ситуацию.
Пусть
длина материала составляет L,
тогда по рисунку можно определить
.
Угол t,
который проносимый материал составляет
с горизонтально нарисованной стенкой,
может меняться в пределах от 0 до 90
градусов. При значениях t,
близких к
,
очевидно, что длина материал будет очень
большая. Такая же ситуация и при значениях
t,
близких к
.
Таким образом, рассматриваемый интервал
для t
есть
.
Из только что сказанного понятно, что нам нужно не максимизировать длину L, а наоборот, минимизировать. При заданной ширине коридора а, мы можем найти явное выражение для L. Из рисунка легко можно вычислить,
и
.
Тогда
сразу же получаем
.
Что мы имеем? Целевая функция L имеет явное выражение от аргумента t, для которого задана область изменений. Известно, что целевая функция должна быть минимизирована. Так чего же мы ждём? Математическая постановка задачи выглядит следующим образом:
Решение.
Нахождение
минимума данной функции не составляет
никакого труда. Используем стандартные
способы. Находим первую производную
и приравниваем её нулю,
Заметим, что при значениях t, где первая производная не существует (знаменатель равен нулю), не существует и сама функция. Другими словами экстремум функции L не достигается в точке, где производная не существует. Ищем стационарные точки:
Это и
есть единственная стационарная точка
нашей функции. Убедимся, что данная
точка является точкой минимума. Подставим
значение t
чуть меньшее, чем
.
Получим,
так как
возрастающая функция, а
убывающая. По тем же соображениям
при значениях чуть больше
.
Получаем, что функция убывает слева и
возрастает справа от
,
поэтому в данной точке наблюдается
минимум. Всё это можно наглядно увидеть
на графике (при
).
При
функция L
принимает значение
это и будет ответом к задаче.
II. Усложненная двухмерная модель.
Модель, которую мы рассмотрели в предыдущем пункте, не является такой уж сложной, поэтому найти решение не составило труда. Целевая функция оказалась “хорошей” и точка минимума “красивой”. Давайте усложним модель, добавив некоторые изменяющиеся параметры. Итак:
- угол
поворота составляет
.
- ширина коридора до и после поворота различная (до поворота равняется а, после поворота равняется b).
- проносимый материал по-прежнему считается тонкой линией.
Требуется определить наибольшую длину материала, способного пройти через такой поворот.
Рисунок ниже проясняет данную ситуацию.
Опять
же, рисунок может рассказать нам многое.
Во-первых,
Если значение t
близко к
,
значит, материал еще не вошел в поворот
и его длина может быть как угодно большой.
И при значениях, близких к
,
наблюдается то же самое. Из этих
соображений мы заключаем, что область
изменения параметра tесть
промежуток
.
Легко установить связь между углами
t,s
и
Вместе
эти углы составляют развернутый угол,
поэтому
,
отсюда
.
Всё готово для того, чтобы найти выражение
для L.
и
,
.
По-прежнему требуется минимизировать данную функцию. Интервал изменения для t известен, целевая функция известна. Постановка задачи на математическом языке выглядит следующим образом:
Решение.
Попытаемся решить поставленную задачу тем же способом, что и предыдущую.
Как и в предыдущем случае, точки, где производная не существует также не доставляют нам экстремальных точек, так как в них сама функция не определена. Для отыскания стационарных точек функции приравняем числитель последнего выражения к нулю:
поделив
обе части дроби в левой части на
,
получим выражение, зависящее только
от
:
Сделав
в получившемся уравнении замену,
мы приведём его к алгебраическому виду:
Это уравнение третей степени, которое можно решать вручную одним из численных методов: деление отрезка пополам, хорд, касательных или др. Мы же воспользуемся средствами, предоставляемыми нам компьютерной системой Maple 15, которая позволяет автоматически решать численно подобные уравнения. Отметим, что система Maple позволяет сразу находить минимум функции (встроенная процедура), однако мы избегаем подобного подхода с целью предоставить полностью пошаговое решение проблемы.
Итак, опишем некоторый синтаксис языка Maple. Для начала нам нужно присвоить значения входным параметрам, так выглядит написанное в среде Maple:
>a:=2;
>b:=2.2;
>alpha:=2*Pi/3;
Затем надо составить и решить уравнение
>eq:=y^2*(1-y*tan(alpha))/(cos(alpha)*(y+tan(alpha))^2)=-a/b;
Численное решение уравнения в заданном интервале:
>T:=fsolve(eq,y=0..tan(Pi-alpha));
Заметьте,
что интервалом, где мы ищем решение
является
,
следовательно
ввиду сделанной замены. Не составляет
труда проверить тот факт, что найденное
значение доставляет именно минимум.
Теперь надо вычислить значение функции
Lпри
найденном значении. Не забудем найти t
через арктангенс от T.
>L:=evalf(subs(t=arctan(T),a/sin(t)+b/sin(alpha+t)));
Таким образом, максимальная длина материала, который можно пронести через поворот с данными характеристиками, равна 8.38 м (округлили до меньшего числа). Составленная программа получилась универсальной. Всё что от нас требуется, это ввести параметры модели и подождать пока компьютер выдаст результат.
Считаем, что с поставленной задачей мы справились. Переходим к следующей по сложности модели.