3. Модели

3.1 Модели атома

Вся история исследований структуры и свойств атома представляет собой образец научного моделирования, в том числе и на основе мысленных экспериментов. По мере накопления различных опытных фактов (рассеяние частиц, спектроскопия) в научном мире всесторонне обсуждались различные его модели, постепенно все в большей степени отражающие многообразие и необычные для того времени особенности этой квантовой системы.

Приведем хронологию основных событий, так или иначе приближающих представления об атоме к реальной действительности:

1816 г. — У. Проут высказал гипотезу, согласно которой все атомы состоят из атомов водорода.

1869 г. — Д. И. Менделеев построил периодическую систему эле­ментов, в которой мысль о внутренней связи между всеми атомами отражена в явном виде.

1886 г. — У. Крукс предположил, что атомы состоят из некой пер­вичной субстанции, названной им «протилом».

1901 г. — Ж- Перрен предложил ядерно-планетарную структуру атома, в которой элект­роны движутся вокруг положительного ядра с частотами вращения совпадающими с частотами света, из­лучаемого данным атомом.

1903 г. — Дж. Дж. Томсон сформулировал статическую мо­дель строения атома — «пудинг с изюмом».

1904 г. — X. Нагаока, отправляясь от аналогии с планетой Са­турн, пришел к планетарной модели атома.

1906 г. — Э. Резерфорд обнаружил рассеяние а-частиц веществом.

1910 г. — X. Гейгер и Э. Марсден, сотрудники Резерфорда, наблюдали случаи сильного рассеяния α-частиц на углы вплоть до 180°.

1911 г. —Э. Резерфорд формулирует планетарную модель строения атома: внутри атома имеется положительно заряженное ядро малых размеров, в котором сосредоточена практически вся масса атома, а вокруг ядра обращаются электроны. В рамках этой модели, пользуясь методами классической механики, Резерфорд выводит формулу, описывающую упругое рассеяние частиц на кулоновском силовом центре.

1911—1912 гг.— X. Гейгер и Э. Марсден дополнительными экспериментами под­тверждают формулу Резерфорда.

1912 г.— П. Блэкетт с помощью трековой камеры получил фотографии следов а-частиц с резкими изломами. Они отвечают актам их однократного рассеяния на атомных ядрах вещества камеры.

1913 г.— А. Ван-ден-Брук заметил, что данные по рассеянию α-частиц лучше всего объясняются, если предположить, что заряд ядра равен Ze, где Z — порядковый номер элемента в таблице Мен­делеева. .

1914 г.— Г. Мозли, измеряя частоты характеристического рент­геновского излучения, подтвердил гипотезу Ван-ден-Брука. По сло­вам Н. Бора, это было немедленно осознано как решительное под­тверждение атомной модели Резерфорда.

В начале века наиболее правдоподобной представлялась модель Томсона. В учебных целях (а может быть и не только!) она весьма полезна и сегодня. Действительно, и по современным представлениям электроны атома находятся в электрическом поле ядра, т.е., внутри положительно заряженной материальной субстанции (Томсоновский пудинг с изюмом!). Дополнив этот мысленный образ некоторыми простейшими квантовыми свойствами электрона (например, квантование орбит), можно получить отдельные соотношения, хорошо подтверждаемые экспериментально. Подобная модель (мезоатом) реально используется в настоящее время в отдельных исследованиях.

Возвращаясь к 1913 году, отметим, что наступил период признания и дальнейшего развития Боровской модели атома, которая уже рассмотрена выше (См. раздел 1.1.1). Было выяснено, что атомная система, состоящая из ядра и одного электрона, переходя из возбужденного состояния в стационарное испускает спектральные линии с частотами

.

Эту формулу можно представить в виде

ν_ik =T_i - T_k,

где T_i и T_k сериальные термы, т.е. числа пропорциональные значениям энергии атома с точностью до некоторой аддитивной постоянной. Ис­пользование этих чисел оказалось весьма эффективным для анализа самых разнообразных свойств атома. На их основе образовалась своеобразная модель, хорошо описывающая, например, особенности спектров элементов и их сопутствующие свойства.

Для выявления ее сущности рассмотрим спектры испускания атомов щелочных металлов, которые подобно спектру водорода, состоят из нескольких серий линий. Наиболее интенсивные из них получили назва­ния: главная, резкая, диффузная и основ­ная. Эти названия имеют сле­дующее происхождение. Главная серия названа так потому, что наблюдается и в эмиссионных спектрах, и при поглощении. Следова­тельно, она соответствует переходам атома в основное состояние. Резкая и диффузная серии состоят соответ­ственно из резких и размытых (диффузных) линий. Основная (фундаменталь­ная) се­рия похожа по структуре на серии водородоподобных атомов – исходной основы для анализа строения атома как физического объекта.

Формулы, позволяющие вычислить частоты серий щелочных металлов были первоначально установлены эмпирически ( Р. Ридберг, 1900 год). Эти формулы для всех серий сходны и имеют вид:

 = _∞– R/( n + α)² ,

где _∞ — частота, соответствующая границе серии, R— постоянная Ридберга, n — целое число, α — дроб­ное число.

Таким образом, частоты линий могут быть представ­лены как разности двух термов: постоянного (_∞) и переменного, имеющего более сложный вид, чем вид приведенных выше термов T_i и T_k, характеризующих спектр водорода. Константы _∞ и α для различных серий имеют разное значение. Так, на­пример, спектральные серии натрия можно представить следующими формулами.

 = S – R/( n + s)², n = 4, 5,….; s = - 1,35

 = P – R/( n +p)², n = 3, 4,…; p = - 0,87

 = D– R/( n + d)², n = 3, 4, …; d = -0,01

 = F – R/( n + f)², n = 4, 5, …; f = 0

Вследствие равенства нулю константы f переменный терм в формуле для основной серии совпадает с T_k, а сама серия, как уже отмечалось, является водородоподобной.

Для сокращения условились записывать переменные термы, указывая число n с добавлением букв S, Р, D, F соответственно для каждой серии. Тогда переменный терм резкой серии вместо R/( n + s)² будет иметь вид n S.

Переменный терм главной серии запишется как nР, диф­фузной — nD и, наконец, основной — nF.

Переписывая формулы для серий натрия с использо­ванием сокращенных обозначений, учтем также то об­стоятельство, что, как было установлено эксперименталь­но, постоянный терм главной серии Р оказался совпа­дающим с переменным термом резкой серии для n = 3 (Р = 3S). Постоянные термы S и D оказались одина­ковыми и равными переменному терму главной серии для n = 3 (S = D = ЗР). Постоянный терм основной серии F оказался равным переменному терму диффуз­ной серии для n = 3 (F = 3D). Таким образом, спект­ральные серии натрия могут быть представлены в сле­дующем виде:

 = 3P – nS n = 4, 5, ….

 = 3S –nP n = 3, 4 ….

 = 3P – nD n = 3, 4, ….

 = 3D – nF n = 4, 5, ….

Мы пришли к весьма существенному результату. Вы­яснилось, что линии всех четырех спектральных серий можно получить путем комбинации четырех типов (ря­дов) термов: nS, nP, nD, nF.

Терм с точностью до постоянного множителя совпа­дает с энергией соответствующего состояния атома. Следовательно, каждому ряду спект­ральных термов должен соответствовать свой ряд энер­гетических уровней. Схемы уровней щелочных металлов отличаются от схе­мы уровней водородного атома тем, что ана­логичные уровни лежат на неоди­наковой высоте. Несмотря на это отличие, обе схемы обнаруживают большое сходство. Это сходство дает основание предположить, что спектры щелочных метал­лов испускаются при переходах самого внешнего (так называемого валентного или оптического) элек­трона с одного уровня на другой.

При анализе свойств атома водорода мы ограничивались использованием только одного квантового числа (главное квантовое число n), считая, что оно полностью описывает возможные энергетические состояния атома. Также мы поступили и при описании спектральных серий щелочных металлов Однако, как показывают квантовомеханический расчет и тонкие спектроскопические эксперименты по выявлению полной структуры спектра водорода (в том числе и в условия действия на атомы водорода электрических и магнитных полей) это возможно только как первое приближение к реальности. Тем более, при анализе свойств многоэлектронных атомов необходим учет и других параметров каждого электрона.

Отметим далее, что состояние каждого электрона в атомах всех элементов описывается четверкой квантовых чисел и соответствующей им энергией, а вся совокупность этих параметров характеризует состояние отдельного атома в целом. Поскольку квантовые числа принимают строго фиксированные значения, то строго дискретный ряд чисел принимают и значения термов атомов. Оказалось удобным представлять их в виде символов, несущих максимальную информацию о возможных значениях каждого терма. В этих символах используются верхние и нижние индексы. Верхний показывает кратность вырождения данного энергетического состояния атома (т.е. число значений энергии атома, которые он может принимать, находясь в магнитном поле); нижний характеризует значение полного момента импульса атома, как совокупности орбитальных и спиновых моментов его электронов. Например:

²S_1/2 , ²P_3/2, ²P_1/2 , ²D_5/2, ²D_3/2, ²F_7/2, ²F_5/2, ³P₁, ³P₂, ³P₀ ,….

Соответственно, для расчета длин волн спектральных линий пользуются записями типа:

5 ²D_3/2 - 6 ²P_3/2 – 361,27 нм.

5 ²D_5/2 - 6 ²P_3/2 – 348,92 нм.

5 ²D_3/2 - 6 ²P_1/2 – 301,00 нм.

Использование записей в такой форме упрощает процедуру использования различных квантовомеханических правил запрета или разрешения отдельных атомных состояний.

Модели ядра

Главная цель теории атомного ядра состоит в объяснении и предсказании:

- статических характеристик основных состояний ядер с заданным составом;

- спектра возбуждений данного ядра;

-результатов того или иного ядерного превращения.

В атомной физике теория успешно справляется с задачами подобного рода. Базируется она на том, что всякий атом состоит из мас­сивного ядра и легкой электронной оболочки и что частицы в атоме взаимодействуют посредством электромагнитных сил. В соответствии с этим теоретическая ядерная физика в принципе должна исходить из того, что ядро составлено из протонов и нейтронов (нуклонов), между которыми действуют специфические (ядерные) силы. Но ядерная физика, если сравнивать ее с атомной физикой, наталкивается на серьезные трудности. Во-первых, электромагнитные силы изучены досконально, а свойства ядерных сил мы знаем еще плохо, и их вид до сих пор не­ известен. Во-вторых, как в атомной, так и в ядерной физике необходимо исследовать квантовую проблему многих частиц, что в принципе предполагает решение системы необозримого количества дифференциальных уравнений с огромным количеством неизвестных функций, зависящих от многих переменных. Даже при известном взаимодействии между частицами подобные задачи не под силу самым быстродействующим ЭВМ. Но в атоме имеется массивное ядро с большим зарядом, и уравне­ние Шредингера допускает существенное упрощение с помощью ме­тода Хартри — Фока, т. е. приближения самосогласованного поля. В ядре нет выделенного центра, ибо се нуклоны равноправны, и про­блема выбора упрощающих предположений резко усложняется.

Если бы ядра состояли из очень многих частиц, то к ним можно было бы применить статистический подход, основывающийся на вве­дении небольшого числа феноменологических параметров типа тем­пературы и давления. К сожалению, в большинстве ядер частиц хотя и много, но не очень, и они занимают промежуточное положение между динамическими и статистическими системами.

Отмеченные обстоятельства вынуждают прибегать при описании свойств атомных ядер к приближенным представлениям, не требую­щим знания всех характеристик ядерных сил. А именно, реальное ядро заменяется некоторой модельной системой, включающей ряд подгоночных параметров. Затем вычисляются характеристики этой системы, и на основе их сравнения с экспериментально измеренными величинами отбирается та модель, которая лучше всего согласуется с той или иной совокупностью опытных данных. Подгоночные пара­метры определяются по известным свойствам небольшого числа ядер (или процессов), что позволяет предсказать соответствующие свойства многих других ядер (процессов).

Универсальной ядерной модели, которая описывала бы все свой­ства всех атомных ядер, до сих пор не построено, да и вряд ли это воз­можно. Приходится довольствоваться тем, что данная конкретная модель удовлетворительно объясняет некоторые свойства ядер. По­этому неудивительно, что в ядерной физике используется множество самых разнообразных моделей. Они различаются степенью общности и широтой области применимости, причем исходные посылки разных моделей зачастую противоречат друг другу. В некоторых из них яд­ро представляется в виде сгустка жидкости, а в других оно рассматри­вается как идеальный газ; ряд моделей исходит из того, что взаимо­действие между нуклонами в ядре сильное, а другие трактуют ядро как совокупность независимых или слабо взаимодействующих час­тиц и т. д.

Во главе всех моделей можно поставить микроскопическая теорию ядра. Она исходит из общего представления о ядре как о системе многих сильно взаимодействующих нуклонов и рассматривает ядро как конечную систему фермионов (нуклонов), для описания которой применяется теория квантовой ферми-жидкости. Последняя использует мощ­ный аппарат квантовой теории поля, включает идеи теорий сверх­проводимости и сверхтекучести и т. д. Микроскопическая теория в ее современном варианте не в состоянии вычислить характеристики реальных ядер. Ее основное назначение — обоснование ядерных моделей и указание областей их применимости. Микроскопическая теория выявляет внутреннее единство различных моделей и устра­няет противоречие между противоположными на первый взгляд ис­ходными посылками некоторых из них. В этом смысле ее можно на­звать «моделью ядерных моделей».

Основной классификационный признак конкретных ядерных мо­делей связан с тем, какие степени свободы, считаемые практически независимыми, они учитывают.

В коллективных моделях принимаются во внимание степени сво­боды, отвечающие коррелированному движению большого числа ну­клонов. Их называют также ядерными моделями с сильным взаимо­действием. Основанием этому служит то, что коллективные эффекты проявляются, когда главную роль играют частые и интенсивные соударения частицы с ее ближайшими соседями. Таким образом, в коллективных мо­делях ядро уподобляется жидкости или твердому телу.

Одночастичные модели учитывают степени свободы, описывающие движение индивидуальных нуклонов. Они именуются иногда моделями независимых частиц. Это связано с тем, что свободный пробег нук­лона предполагается большим. В итоге каждая частица считается движущейся независимо от других в некотором само­согласованном поле, т. е. в потенциальном поле, создаваемом со­вокупным движением всех нуклонов ядра. Таким образом, здесь яд­ро приближается к газу.

Обобщенные модели используют как коллективные, так и одночастичные степени свободы. Если придерживаться той же терминоло­гии, то они трактуют ядро как двухфазную систему — сгусток жид­кости (или деформируемое твердое тело), находящийся в динамичес­ком равновесии со своим паром.

Коллективные модели.

Ядерная материя — модель, занимающая своеобразное место среди других ядерных моделей. Она изучает свойства гипотетической безграничной сплошной среды, состоящей из одинакового числа про­тонов и нейтронов, которые взаимодействуют через посредство двух­частичных ядерных сил. Область применимости: вычисление плотности и удельной энергии, связи ядерного вещества, объяснение насыщения ядерных сил, изучение спектра возбуждений и некоторых ядерных реакций. Модель вполне правомочна, так как считается, что центральные области тяжелых ядер близки по свойствам к ядерной материи.

Капельная модель, именуемая также гидродинамической, трак­тует ядро, как каплю заряженной жидкости (в усложненном варианте — как каплю протонной и нейтронной жидкостей), плотность которой равна ядерной. Основания: постоянство плотности ядерного вещества, свидетельствующее о его «несжимаемости»; пропорциональность энергии связи ядра его массовому числу, подобная пропорциональ­ности энергии испарения жидкой капли ее массе; свойство насыщения ядерных сил, аналогичное свойству молекулярных сил в жидкости. Степени свободы отвечают небольшим объемным деформациям и зна­чительным поверхностным колебаниям (в двухжидкостном ва­рианте также колебаниям всей массы протонов относительно массы нейтронов). Область применимости: описание осредненной зависи­мости энергии связи ядра от его заряда и массы, описание поверхностных колебаний сферических ядер, качественное объяснение деления ядер.

Несферическая модель постулирует эллипсоидальную форму некоторых ядер, рассматриваемых как сгустки вещества. Как и в капельной модели, учитываются колебательные степени свободы. Но в данном случае возникают и вращательные степени свободы, от­сутствующие у сферических ядер. Область применимости: описание низших вращательных и колебательных уровней четно-чет­ных ядер, обладающих несферической формой. При этом для объяснения наблюдаемых значений момента инерции приходится предполагать, что вещество ядра есть смесь вязкой и сверхтекучей жидкостей, благодаря чему не все оно вовлекается во вращение.

Одночастичные модели.

Ядерный ферми-газ — простейшая одночастичная модель, называемая также статистической моделью (в узком смысле). Ядро трактуется как идеальный ферми-газ не взаимодействующих друг с другом нуклонов. Объем газа принимается равным объему ядра, но поверхностные эффекты не учитываются. Область применимости не­велика: вычисление глубины эффективной ядерной потенциальной ямы, качественное объяснение насыщения ядерных сил и эффекта симметрии, описание испускания частиц как процесса испарения, а также описание распределения нуклонов по импульсам, важ­ного для понимания особенностей протекания некоторых ядерных реакций.

В оболочечных моделях считается, что нуклоны движутся более или менее независимо друг от друга в некотором среднем потенциальном поле, создаваемом движением всех составных элементов ядра. Ины­ми словами, реальное взаимодействие между нуклонами представляется в виде суммы доминирующего воздействия на них самосогласованного поля и достаточно слабого остаточного взаимодействия. Варианты оболочечных моделей различаются методами учета остаточного взаимодействия. В старейшем варианте, часто именуемом просто моделью обо­лочек, остаточным взаимодействием полностью пренебрегается. Все остальные варианты объединяются общим названием «оболочечные модели с парными корреляциями».

В модели оболочек (без остаточного взаимодействия) предполагается, что на нуклоны оказывает воздействие только самосогласованное поле, т. е. они движутся совершенно независимо. Область применимости: получение магических чисел, предсказание значений спинов, четностей и магнитных моментов основных состояний дважды магических ядер и ядер, отличающихся от них на один нуклон (в ту или другую сторону).

В модели оболочек с феноменологическим спариванием остаточное взаимодействие учитывается предельно простым способом: пред­полагается без каких-либо обоснований, что одинаковые нуклоны объединяются в пары с нулевым моментом импульса и положительной четностью. Область применимости: объяснение значений спинов и четностей всех ЧЧ-ядер и почти всех ЧН-ядер, приближенное вычис­ление магнитных моментов почти всех ЧН-ядер.

Сверхтекучая модель обосновывает основное предположение предыдущей модели на микроскопическом уровне. Она базируется на представлении о том, что между двумя одинаковыми нуклонами с равными по модулю и противоположно направленными моментами импульса действуют специфические силы, объединяющие их в свя­занные пары. Для разрыва такой пары требуется энегия порядка 2МэВ, что приводит к расщеплению энергетической поверхности на три отдельные поверхности. Идея модели заимствована из теорий сверхпроводимости металлов и сверхтекучести жидкого гелия. Область применимости: объяснение значений спинов и четностей основных и многих низших возбужденных состоя­ ний почти всех ядер. Большим успехом модели является предсказание частичной сверхтекучести ядерного вещества, т. е. свойства, вводимого в несферической модели в качестве дополнительной гипотезы.

Модель оболочек с остаточным взаимодействием — наиболее общий вариант оболочечных моделей, в котором явным образом вводится потенциал остаточного взаимодействия нуклонов. Его вид и параметры подбираются так, чтобы достичь наилучшего согласия с эмпирикой. Модель сложна с математической точки зрения, но позволяет объяснить большое количество характеристик ядерных уровней и ядерных превращений.

Обобщенные модели.

Эти модели объединяют исходные посылки коллективных и одночастичных моделей. Считается, что ядро представляет собой сгусток вещества той или иной формы, окруженный несколькими внешними нуклонами. Поведение остова описывается одной из коллективных моделей, поведение внешних нуклонов — самосогласованным по­лем с остаточным взаимодействием или без такового. Помимо того, вводится более или менее интенсивное взаимодействие между кол­лективными (остов) и одночастичными (внешние нуклоны) степенями свободы.

В обобщенной модели со слабым взаимодействием ядро счита ется состоящим из сплошного сферического ЧЧ-Остова, описываемого капельной моделью, и небольшого числа внешних нуклонов, совершающих независимые движения в поле остова. Взаимодействие между коллективными и одночастичными степенями свободы предпо­лагается слабым. Возбуждаться могут как внешние нуклоны, так и остов, в котором возникают поверхностные колебания. Область при­ менимости невелика: объяснение спектра низших возбуждений небольшого числа ЧН-ядер.

В обобщенной модели с сильным взаимодействием исходят из того, что ядро состоит из остова, образованного нуклонами заполненных оболочек, и внешних нуклонов, движущихся в поле остова и интенсивно с ним взаимодействующих. Эти нуклоны могут вызывать колебания остова и его деформацию, т. е. изменять самосогласованное поле, что в свою очередь сказывается и на их собственном движении. В итоге ядро в целом может стать несферическим, приобретая квадрупольный момент и способность вращаться. Математическая обработка модели сложна, но она обладает широкой областью применимости. Модель хорошо описывает расположение и характеристики большого числа низколежащих уровней (одночастичных, колебательных и враща­тельных) многих ядер. Особым ее успехом явилось объяснение встре­чающихся иногда больших квадрупольных моментов, недоступное ни одной из указанных выше моделей.

В обобщенных моделях парных корреляций учитывают тем или иным способом остаточное взаимодействие между внешними нуклонами. Классифицируются они так же, как оболочечные модели с парными корреляциями. Такого рода модели являются наиболее общими и наиболее современными.

Рассмотрим теперь подробнее простейшие свойства ядра, опираясь в основном на его капельную модель, которая в их отношении обладает более широкими и простыми возможностями.