3.8 Поверхности второго порядка:

Эллипсоид вращения - образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей (рис.3.12а).

Параболоид вращения - образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис.3.12б).

Гиперболоид вращения: однополостный образован вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двухполостный вращением гиперболы вокруг действительной оси (рис.3.12в,г).

Тор - образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности (рис.3.13).

Линейчатый гиперболический параболоид или косая плоскость (седло) - поверхность, образованная движением прямой линии по двум направляющим параллельно плоскости параллелизма (рис.3.14).

а)	б)	в)	г)

Рисунок 3.12

а)	б)

Рисунок 3.13

Рисунок 3.14

Вопросы для самоконтроля:

1) Как образуются кинематические поверхности?

2) Что представляет собой определитель поверхностей?

3) Дайте определение призматической поверхности и ее геометрического определителя.

4) Дайте определение пирамидальной поверхности и ее геометрического определителя.

5) Дайте определение цилиндрической поверхности и ее геометрического определителя.

6) Дайте определение конической поверхности и ее геометрического определителя.

7) Дайте определение конической поверхности вращения и ее геометрического определителя.

8) Что называется сферой? Дайте определение геометрического определителя сферы, как поверхности вращения.

4 Преобразование чертежа

4.1 Способ замены плоскостей проекций

Решение пространственных задач на комплексном чертеже упрощается, если интересующие нас элементы пространства занимают частное положение, т.е. вырожденные проекции, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций. Для того, чтобы добиться такого расположения геометрических элементов, комплексный чертеж преобразуют. Преобразование чертежа отображает изменение положения геометрических объектов или плоскостей проекций в пространстве нужным образом. В основном используются два способа преобразования чертежа: способ замены плоскостей проекций и частный вид плоско-параллельного движения способ вращения геометрического объекта относительно плоскостей проекций. Эти способы применяются при выполнении дополнительных видов, разрезов или сечений в техническом черчении.

Т.к. частных положений у прямых и плоскостей по два (перпендикулярные и параллельные плоскостям проекций), то существует четыре исходных задачи для преобразования комплексного чертежа:

1 задача. Прямую общего положения сделать прямой уровня (|| плоскости проекций).

2 задача. Прямую уровня сделать проецирующей ( плоскости проекций).

3 задача. Плоскость общего положения сделать проецирующей ( плоскости проекций).

4 задача. Проецирующую плоскость сделать плоскостью уровня (|| плоскости проекций).

Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций на которых строятся новые изображения геометрических объектов. Дополнительные плоскости проекций вводят таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном положении.

Заменой плоскостей проекций называется преобразование пространства и чертежа обладающее следующими свойствами:

1) Оригинал (А) не преобразуется ни по форме, ни по содержанию (А - соnst).

2) Плоскости проекций преобразуются поочередно, оставляя одну без изменений (П₂  П₄).

3) Новая плоскость проекций располагается перпендикулярно к оставшейся без изменений в данном преобразовании плоскости проекций (П₄П₁).

4) Оригинал проецируется ортогонально на новую плоскость проекций (АА₄).

5) Расстояние от любой точки оригинала до оставшейся без изменений плоскос­ти проекций остается постоянным в новой системе проекций ((АП₁) = const).

Рассмотрим введение одной новой плоскости проекций.

Преобразуем систему плоскостей проекций:

П₂  П₄  П₁

А₄ - проекция точки А на плоскость П₄ .

В соответствии со свойством 1 и 2 в данном преобразовании всегда оригинал и П₁ постоянны, значит сохраняется расстояние от оригинала до плоскости П₁.

Это расстояние есть длина отрезка:

(АП₁) А₂А₁₂ А₄А₁₄; А – const; П₁ - const  (АП₁) = const

Рисунок 4.1

Алгоритм преобразования:

1. Пx… - ввод новой плоскости;

2.  - проецирование ортогонально новой плоскости проекций;

3.  - const - сохранение расстояний.

Рассмотрим преобразование( рис.4.2): пл. П₁ заменяем на пл. П₅.

П1  П5  П2 А  const П 2  const (АП2)  const (АП2)А1А12А5А25

Рисунок 4.2

Рассмотрим преобразование: плоскость П₁ заменяем на плоскость П₃.

П₁  П₃П₂ и П₃П₁; П₃ - профильная пл. проекций (рис. 4.3).

Рисунок 4.3

Рассмотрим последовательное преобразование двух плоскостей проекций.

1) П2 П4П1 А - const П1 - const (АП1)  const (АП ) А2А12  =А4А14

2) П1П5П4 A - const П4 - const (АП4)  сonst (АП4)А1А14= А5А45

Рисунок 4.4