7. Метод искусственного базиса (м-метод)

Чтобы избежать затруднений при нахождении первоначального базисного решения, применяют метод искусственного базиса. Напомним алгоритм этого метода:

1. Привести ЗЛП к каноническому виду.

2. Построить М-задачу. Для этого в каждое уравнение системы ограничений, не имеющее переменной, исключенной из других уравнений, необходимо ввести искусственную переменную с коэффициентом 1, не меняя знака равенства. Искусственные переменные также вводятся в целевую функцию с коэффициентом –М (если решается задача на максимум) или +М (если решается задача на минимум), где М – сколь угодно большое число.

3. Выписать исходное базисное решение.

4. Решить М-задачу симплексным методом. При решении учесть следующие возможные случаи:

а) если в оптимальном решении М-задачи все искусственные переменные равны 0, то соответствующее решение исходной задачи является оптимальным и экстремумы целевых функций равны;

б) если в оптимальном решении М-задачи хотя бы одна из искусственных переменных не равна 0, то исходная задача не имеет оптимального решения из-за несовместимости системы ограничений;

в) если М-задача не имеет оптимального решения, то исходная задача также не имеет оптимального решения.

Если в процессе решения искусственная переменная выводится из базиса, то можно исключить ее из дальнейших расчетов.

Пример 6. Из бруса длиной 3 м нарезаются заготовки длиной 1м, 1,2м и 2м. Из одного бруса можно нарезать заготовки различными вариантами. При каждом варианте могут оставаться концевые остатки. За смену требуется нарезать 125 заготовок длиной 1м, 10 заготовок длиной 1,2м, 50 заготовок длиной 2м. Определить, какое количество бруса необходимо нарезать по различным вариантам, чтобы выполнить план по нарезке заготовок, и чтобы при этом общая длина концевых остатков была минимальной.

Решение. Определим варианты нарезки бруса и запишем данные в таблицу 15. Составим математическую модель.

Таблица 15. Исходные данные

Варианты	Количество заготовок заданной длины			Остаток (м)
	1 м	1,2 м	2 м
1	3	0	0	0
2	1	0	1	0
3	1	1	0	0,8
4	0	2	0	0,6
план	125	10	50

Пусть x_i – количество бруса, нарезаемого по варианту i. Найти значения переменных x₁, x₂, x₃, x₄, для которых функция принимает наименьшее значение при ограничениях:

(1.25)

Задача дана в каноническом виде. Составим М-задачу, для этого введем в первое уравнение переменную х₅, во второе – переменную х₆, в третье – переменную х₇, в целевую функцию добавим М х₅ + М х₆+ М х₇.

(1.26)

(1.27)

Решаем задачу симплексным методом. Начальный базис х₅, х₆, х₇.

(1.28)

(1.29)

Решение допустимое . Переведем в базис переменную х₂, входящую в целевую функцию с отрицательным коэффициентом. Оценочные отношения для переменной х₂ равны 125 и 50. Третье уравнение системы является разрешающим. Новый базис х₂, х₆, х₇. Т.к. искусственная переменная х₇ выведена из базиса, не учитываем ее в дальнейших вычислениях. Система ограничений и целевая функция имеют вид:

(1.30)

. (1.31)

Решение . Переведем в базис переменную х₁, выражая её из второго уравнения. Новый базис x₁, х₂, х₆. Т.к. переменная х₅ выведена из базиса, исключаем ее из дальнейшего решения.

(1.32)

. (1.33)

Решение . Т.к. M может быть сколь угодно большим числом, то коэффициенты при переменных x₃, x₄ отрицательны, и решение пока не является оптимальным. Переведем в базис переменную x₄, выразив её из третьего уравнения. Новый базис x₁, х₂, х₄. Т.к. переменная х₆ выведена из базиса, исключаем ее из дальнейшего решения. Система ограничений и целевая функция принимают вид:

(1.34)

. (1.35)

Выполнен критерий оптимальности решения задачи на минимум целевой функции. Оптимальное решение , минимальное значение целевой функции .

Ответ: X = (25, 50, 0, 5), общая длина концевых остатков 3 м.