3. Отсутствие конечного оптимального решения

Если на каком-либо шаге во всех уравнениях системы оценочные отношения той переменной, которая переводится в основные, бесконечны, то задача не имеет конечного оптимума.

Пример 5. Найти значения переменных х₁, х₂, удовлетворяющие условиям:

(1.19)

при которых целевая функция принимает максимальное значение.

Приведем систему к каноническому виду введением дополнительных переменных: ,

(1.20)

Первоначальное решение является допустимым: . Значение целевой функции равно .

Значение целевой функции может быть увеличено за счет увеличения значений переменных х₁ и х₂, так как эти переменные входят в линейную целевую функцию с положительными коэффициентами.

Выберем в качестве новой базисной переменной х₁. В новом базисе получим следующую систему ограничений и выражение целевой функции:

(1.21)

. (1.22)

После перевода в базис переменной х₁ получим:

(1.23)

. (1.24)

Решение не является оптимальным, коэффициент при переменной х₃ положительный. Но оценочные отношения для этой переменной во всех уравнениях системы ограничений бесконечны. Т.е. можно неограниченно увеличивать значение переменной х₃, оставаясь при этом в области допустимых решений. Следовательно, максимальное значение целевой функции не ограничено.

6. Варианты задач для самостоятельного решения

Составить экономико-математические модели задач, найти оптимальные решения. Условия задач 11-15 отличаются незначительно, однако это приводит к совершенно различным результатам. Рекомендуется найти решения всех задач и проанализировать их.

Задача 11.

Рацион питания должен содержать не менее 12 единиц питательного вещества В₁, не менее 12 единиц питательного вещества В₂ и не менее 15 единиц питательного вещества В₃. В рацион включены 2 продукта: А₁ и А₂. Удельное содержание питательных веществ в 1 кг и стоимость 1 кг продуктов заданы в таблице 10. Какое количество каждого продукта нужно включить в рацион для минимизации его стоимости?

Таблица 10. Исходные данные

продукт	Питательные вещества усл.ед./кг			Стоимость, ден.ед./кг
	В1	В2	В3
А1	1	2	1	3
А2	2	1,5	5	6

(Ответ: минимум целевой функции . Количество продукта А₁ равно , количество продукта А₂ равно , где . Или , где ).

Задача 12.

Рацион питания должен содержать не более 12 единиц питательного вещества В₁, не менее 12 единиц питательного вещества В₂ и не менее 15 единиц питательного вещества В₃. В рацион включены 2 продукта: А₁ и А₂. Удельное содержание питательных веществ в 1 кг и калорийность 1 кг продуктов заданы в таблице 11. Какое количество каждого продукта нужно включить в рацион для его максимальной калорийности?

Таблица 11. Исходные данные

продукт	Питательные вещества усл.ед./кг			Калорийность, ккал/кг
	В1	В2	В3
А1	1	2	1	400
А2	2	1,5	5	800

(Ответ: максимум целевой функции . Количество продукта А₁ равно , количество продукта А₂ равно , где . Или , где ).

Задача 13.

Рацион питания должен содержать не менее 12 единиц питательного вещества В₁, не более 12 единиц питательного вещества В₂ и не менее 15 единиц питательного вещества В₃. В рацион включены 2 продукта: А₁ и А₂. Удельное содержание питательных веществ в 1 кг и калорийность 1 кг продуктов заданы в таблице 12.

Таблица 12. Исходные данные

продукт	Питательные вещества усл.ед./кг			Калорийность, ккал/кг
	В1	В2	В3
А1	1	2	1	400
А2	2	1,5	5	300

Какое количество каждого продукта нужно включить в рацион для его максимальной калорийности?

(Ответ: максимум целевой функции . Количество продукта А₁ равно , количество продукта А₂ равно , где . Или , где ).

Задача 14.

Рацион питания должен содержать не менее 12 единиц питательного вещества В₁, не менее 12 единиц питательного вещества В₂ и не более 15 единиц питательного вещества В₃. В рацион включены 2 продукта: А₁ и А₂. Удельное содержание питательных веществ в 1 кг и калорийность 1 кг продуктов заданы в таблице 13. Какое количество каждого продукта нужно включить в рацион для его максимальной калорийности?

Таблица 13. Исходные данные

продукт	Питательные вещества усл.ед./кг			Калорийность, ккал/кг
	В1	В2	В3
А1	1	2	1	200
А2	2	1,5	5	1000

(Ответ: максимум целевой функции . Количество продукта А₁ равно , количество продукта А₂ равно , где . Или , где ).

Задача 15.

Рацион питания должен содержать не менее 12 единиц питательного вещества В₁, не менее 9 единиц питательного вещества В₂ и не менее 15 единиц питательного вещества В₃. В рацион включены 2 продукта: А₁ и А₂.

Таблица 14. Исходные данные

продукт	Питательные вещества усл.ед./кг			Стоимость, ден.ед./кг
	В1	В2	В3
А1	1	2	1	3
А2	2	1,5	5	8

Удельное содержание питательных веществ в 1 кг и стоимость 1 кг продуктов заданы в таблице 14. Какое количество каждого продукта нужно включить в рацион для минимизации его стоимости?

(Ответ: минимум целевой функции . Количество продукта А₁ равно , количество продукта А₂ равно , решение является вырожденным).