5. Особые случаи симплексного метода

Перечислим особые случаи симплексного метода, рассмотренные в курсе лекций: 1) неединственность оптимального решения, 2) вырожденное базисное решение, 3) отсутствие конечного оптимального решения.

Рассмотрим эти случаи на примерах.

1. Не единственное оптимальное решение

Пример 3. Цех консервирования овощной продукции планирует производство 3 видов салатов: «Донской», «Украинский», «Кубанский». Исходные данные указаны в таблице 9. Найти оптимальный план выпуска продукции для получения максимальной прибыли.

Таблица 9. Исходные данные

Ингредиенты		Запас овощей, кг		Норма расхода овощей на 1 кг продукции
			Донской		Украинский		Кубанский
томаты		60		0,4		0,2		0,3
капуста		80		0,4		0,5		0,3
лук		70		0,2		0,2		0,35
Зел. горошек		10		0		0,1		0,05
Прибыль от реализации 1 кг продукции, ден.ед.				8		4		6

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Пусть х₁, х₂, х₃ - количество выпущенной продукции (салатов «Донской», «Украинский», «Кубанский» соответственно, в кг). Найти значения переменных х₁, х₂, х₃, удовлетворяющие условиям:

(1.12)

при которых целевая функция принимает максимальное значение.

После приведения задачи к канонической форме и перевода переменной х₁ в базис, базисными становятся переменные х₁, х₅, х₆, х₇, неосновными (свободными) переменные х₂, х₃, х₄.

Выполните преобразование самостоятельно.

В результате получаем следующую систему ограничений:

(1.13)

Целевая функция принимает вид и не зависит от переменных x₂ и x₃. Следовательно, оптимальное решение является не единственным.

Определим допустимые значения свободных переменных x₂ и x₃, при которых значения базисных переменных также остаются допустимыми, из системы неравенств

(1.14)

В результате получим общую запись значений переменных для оптимального решения:

(1.15)

При этом F_max = 1200 ден.ед. Как можно заметить, не все оптимальные значения переменных x₁, x₂ и x₃ являются целыми числами.

2. Вырожденное базисное решение

Если на каком-либо шаге наибольшее возможное значение переменной (оценочное отношение) достигается в нескольких уравнениях одновременно, то разрешающим можно выбрать любое из этих уравнений. На следующем шаге получится вырожденное базисное решение (одна из базисных переменных равна нулю), а переход к очередному базисному решению может не изменить значения целевой функции.

Пример 4. Пусть в предыдущем примере 3 запас лука равен 30 кг. Тогда на первом шаге решения симплексным методом получим одинаковые оценочные отношения для переменной х₁ в первом и третьем уравнениях.

(1.16)

Переведем переменную х₁ в базис вместо переменной х₄. Выражая х₁ из первого уравнения и подставляя в остальные уравнения, получим:

(1.17)

Целевая функция примет вид: . Найденное решение X=(150, 0, 0, 0, 20, 0, 10) является оптимальным и вырожденным: базисная переменная x₆ равна нулю. Хотя свободные переменные х₂ и х₃ входят в выражение целевой функции с нулевыми коэффициентами, увеличить их до какого-либо положительного значения нельзя, т.к. их увеличение приведет к недопустимому (отрицательному) значению переменной x₆.

Однако формально переход к новому базису выполнить можно. Например, переведем в базис переменную х₂ вместо переменной x₆. Тогда получаем систему (1.18), определяющую ещё одно вырожденное базисное решение:

(1.18)

Целевая функция остается такой же: . Найденное решение X=(150, 0, 0, 0, 20, 0, 10) является оптимальным и вырожденным: базисная переменная x₂ равна нулю.

Аналогично можно было перевести в базис переменную х₃ и получить ещё одно вырожденное базисное решение X=(150, 0, 0, 0, 20, 0, 10) с нулевой базисной переменной х₃. Различие между этими вырожденными решениями формальное.