3. Отыскание минимума линейной функции

Для определении минимума линейной функции Z можно модифицировать симплексный метод, для этого на каждом шаге следует уменьшать линейную функцию за счет той неосновной переменной, которая входит в выражение линейной функции с отрицательным коэффициентом.

Критерий оптимальности полученного решения в этом случае можно сформулировать следующим образом:

Если в выражении линейной функции через неосновные переменные отсутствуют отрицательные коэффициенты при неосновных переменных, то найденное решение задачи отыскания минимума линейной функции является оптимальным.

Пример 2. В магазине продается два вида удобрений для комнатных растений: «Турбо» и «Форте», расфасованных в пакеты по 100 г. В 100 г удобрения «Турбо» содержится 8% азота, 15% фосфора и 18% калия, а в 100 г удобрения «Форте» – 6% азота, 3% фосфора и 7% калия удобрений. Известно, что для сбалансированного питания растений потребуется азота 26 г, фосфора 24 г, калия 32 г. Пакет удобрения «Турбо» стоит 18 руб., а пакет удобрения «Форте» 7 рублей. Определить количество пакетов удобрений (х₁ и х₂), которые нужно купить, чтобы обеспечить сбалансированного питание растений и минимизировать стоимость.

Решение. Построим математическую модель задачи. Найти значения переменных х₁, х₂, удовлетворяющие условиям:

(1.6)

при которых целевая функция принимает минимальное значение.

Решение будем проводить симплексным методом. Приведем систему к каноническому виду введением дополнительных переменных: ,

(1.7)

В качестве базисных переменных выберем дополнительные переменные. Выразим базисные переменные через неосновные:

(1.8)

Полагая неосновные переменные равными нулю, получаем недопустимое первоначальное базисное решение: . Целевая функция на недопустимом решении не рассматривается!

Для того чтобы решение стало допустимым, необходимо увеличить значение одной из неосновных переменных, коэффициенты при которой в выражениях для базисных переменных, принимающих недопустимые значения, положительны. Рассмотрим переменную х₁.

Вычислим для нее оценочные отношения в уравнениях, соответствующих недопустимым решениям: 26/8, 24/15, 32/18. Если увеличить значение переменной х₁ до максимального из указанных значений (26/8), то значения переменных станут допустимыми. Новый базис: x₁, x₄, x₅. Система ограничений примет вид:

(1.9)

Полагая неосновные переменные равными нулю, получаем допустимое базисное решение: . Целевая функция принимает вид .

На полученном решении . Значение целевой функции может быть уменьшено за счет увеличения значения переменной х₂, так как эта переменная входит в линейную целевую функцию с отрицательным коэффициентом.

Вычислим оценочные отношения для переменной х₂ в тех уравнениях, где коэффициент при х₂ отрицателен: 13/3, 3, 53/13. Наименьшее из этих отношений (3) определяет разрешающее уравнение. Итак, в новый базис вместо переменной х₄ вводится переменная х₂. Выразим х₂ и подставим полученное выражение в остальные уравнения и в целевую функцию:

(1.10)

(1.11)

Полученное решение допустимое: . При этом целевая функция . Значение целевой функции не может быть уменьшено, так как все неосновные переменные входят в линейную целевую функцию с неотрицательными (положительными) коэффициентами. Следовательно, найденное решение является оптимальным.

Ответ: нужно купить 1 пакет удобрения «Турбо» и 3 пакета удобрения «Форте», стоимость покупки 36 рублей.