
- •Методы оптимальных решений
- •Введение
- •Задачи линейного программирования
- •Решение задачи на максимум линейной функции
- •Варианты задач для самостоятельного решения
- •Отыскание минимума линейной функции
- •Варианты задач для самостоятельного решения
- •Особые случаи симплексного метода
- •Не единственное оптимальное решение
- •Вырожденное базисное решение
- •Отсутствие конечного оптимального решения
- •Варианты задач для самостоятельного решения
- •Метод искусственного базиса (м-метод)
- •Варианты задач для самостоятельного решения
- •Двойственные задачи
- •Симметричная пара
- •Несимметричная пара
- •Смешанная пара
- •Варианты задач для самостоятельного решения
- •Экономическая интерпретация двойственной задачи
- •Решение двойственной задачи и определение интервалов устойчивости двойственных оценок оптимального решения.
- •Варианты задач для самостоятельного решения
- •Задачи целочисленного программирования
- •Варианты задач для самостоятельного решения
- •3. Транспортная задача
- •Постановка и решение транспортной задачи
- •Проверка плана на оптимальность. Метод потенциалов
- •Варианты задач для самостоятельного решения
- •4. Задачи динамического программирования
- •Задача о распределении средств между предприятиями
- •Варианты задач для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Литература
- •Содержание
Решение двойственной задачи и определение интервалов устойчивости двойственных оценок оптимального решения.
На основании полученного оптимального решения двойственной задачи можно провести анализ устойчивости решения относительно изменения запасов ресурсов. Т.е. можно определить, в каких интервалах допустимо изменять значения запасов ресурсов, чтобы двойственные оценки оставались неизменными.
Пример 11. При решении двойственной задачи, составленной в примере 9, симплексным методом, получаются следующие результаты.
Базисные переменные: y1, y2, неосновные переменные: y3, y4, y5.
(2.8)
Выражение целевой функции на оптимальном решении:
(2.9)
Предположим, что запасы bi ресурсов каждого вида изменились на ∆bi единиц (i=1, 2, 3). Запишем исходное выражение целевой функции (1.42) с новыми коэффициентами:
(2.10)
Подставим в это выражение полученные выражения для оптимальных решений у1 и у2 из системы (1.42), и после преобразований получим:
(2.11)
Для того чтобы полученное решение двойственной задачи оставалось оптимальным, коэффициенты при неосновных переменных в целевой функции должны остаться неотрицательными:
(2.12)
В том случае, когда запасы изменяются одновременно по нескольким видам ресурсов, найти интервалы устойчивости как решение системы неравенств (2.12) в общем случае затруднительно. Однако можно проверить, удовлетворяют ли конкретные изменения запасов ресурсов системе (2.12).
Например, если
,
то решение останется оптимальным, т.к.
все неравенства удовлетворены. При этом
.
Решение исходной задачи следует из
соответствия решений взаимно-двойственных
задач (см. таблицу 21): оптимальное значение
x1 равно
коэффициенту при переменной y4,
значение x2
равно коэффициенту при переменной
y5,
значение x5
равно коэффициенту при переменной
y3 в выражении
целевой функции (1.46):
. (2.13)
Если
,
то первое неравенство не выполнено.
Переменная у3 должна быть
переведена в базисные переменные, и
оптимальные значения двойственных
оценок изменятся.
Определим интервалы устойчивости оптимального решения двойственной задачи по каждому ресурсу в отдельности.
Полагая
, получаем систему неравенств
(2.14)
Следовательно, решение останется оптимальным, если
. (2.15)
Полагая
, получаем систему неравенств
(2.16)
Следовательно, решение останется оптимальным, если
. (2.17)
Полагая
, получаем неравенство
. (2.18)
Следовательно, решение останется оптимальным, если
. (2.19)
Итак, формулы (2.15), (2.17) и (2.19) определяют интервалы устойчивости двойственных оценок по каждому ресурсу при условии, что остальные ресурсы остаются в неизменном количестве.
Варианты задач для самостоятельного решения
Задача 26.
Составить и решить задачу, двойственную к задаче 1. Найти интервалы устойчивости двойственных оценок. Проанализировать и оценить целесообразность включения в план производства третьего вида корма, если в 1 набор входит 10 г фруктов, 60 г злаков, 30 г орехов, а прибыль от реализации 1 набора этого корма составляет 3,5 денежных единицы.
Задача 27.
Составить и решить задачу, двойственную к задаче 2. Найти интервалы устойчивости двойственных оценок. Проанализировать и оценить целесообразность включения в план производства третьего вида костюмов, если на 1 костюм необходимо 2 м шерсти, 1,5 м лавсана и 0,8 человеко-дней трудозатрат, а прибыль от реализации 1 костюма составляет 150 денежных единиц.
Задача 28.
Составить и решить задачу, двойственную к задаче 3. Найти интервалы устойчивости двойственных оценок. Проанализировать и оценить целесообразность включения в план производства третьего вида продукции (календарей), если на 1 календарь необходимо 1 условный лист бумаги, и 1 час рабочего времени, а прибыль от реализации 1 календаря составляет 0,5 доллара.
Задача 29.
Составить и решить задачу, двойственную к задаче 4. Найти интервалы устойчивости двойственных оценок. Проанализировать и оценить целесообразность включения в план производства продукции П4, если на 1 единицу продукции необходимо 6 единиц ресурса Р1, 4 единицы ресурса Р2, 2 единицы ресурса Р3, 1,5 м лавсана и 0,8 человеко-дней трудозатрат, а прибыль от реализации 1 костюма составляет 150 денежных единиц.
Задача 30.
Составить и решить задачу, двойственную к задаче 5. Найти интервалы устойчивости двойственных оценок. Проанализировать и оценить целесообразность включения в план производства 5-го вида ткани (смесовая), если на выпуск 1 партии ткани необходимо 40 мин. рабочего времени, 180 единиц денежных ресурсов, а величина партии составляет 100 м.