1. Варианты задач для самостоятельного решения

Задача 21.

Составить двойственные задачи для задач 1 – 5, решить одну из составленных задач.

Задача 22.

Составить двойственные задачи для задач 6 – 10, решить одну из составленных задач.

Задача 23.

Составить двойственные задачи для задач 11 – 15, решить одну из составленных задач.

Задача 24.

Составить двойственные задачи для задач 16 – 20, решить одну из составленных задач.

Задача 25.

Составить двойственные задачи для примеров 3 – 5, решить одну из составленных задач.

2. Экономическая интерпретация двойственной задачи

Предположим, что у предприятия есть возможность вместо того, чтобы производить продукцию и реализовывать её по заданным (внешним) ценам, продать сырьё некоторому покупателю по оптимальным для себя (внутренним) ценам. Эти цены предприятие заинтересовано установить такими, чтобы полученная выручка была не менее той суммы, которую можно получить при реализации выпущенной продукции. С другой стороны покупатель заинтересован в том, чтобы затраты на все ресурсы для него были минимальны.

Пример 9. Рассмотрим задачу из примера 1 (см.п.1.1).

Математическая модель исходной задачи: найти значения переменных x₁, x₂, удовлетворяющие условиям

, (2.5)

при которых целевая функция принимает максимальное значение. В результате решения симплексным методом получено оптимальное значение переменных и выражение целевой функции для этого решения .

Составим двойственную задачу. Найти значения переменных y₁, y₂, y₃, удовлетворяющие условиям

, (2.6)

при которых целевая функция

(2.7)

Решение задачи симплексным методом выполнить самостоятельно.

Для взаимно двойственных задач существует соответствие между переменными и решениями. Для рассматриваемого примера это соответствие приведено в таблице 21.

Таблица 21. Соответствие решений взаимно-двойственных задач

Компоненты оптимального решения исходной задачи
Число единиц продукции (первоначальные переменные)		Остатки ресурсов (дополнительные переменные)
х1 100	х2 50	х3 0	х4 0	х5 10
у4 0	у5 0	у1 500	у2 250	у3 0
Превышение затрат на ресурсы над ценой реализации (дополнительные переменные)		Объективно обусловленные оценки ресурсов (первоначальные переменные)
Компоненты оптимального решения двойственной задачи

Решения двойственной задачи – абсолютные величины коэффициентов целевой функции F в оптимальном решении прямой задачи ЛП. Переменные у₁, у₂, у₃ и у₄ представляют собой объективно обусловленные оценки ресурсов. Они определяют степень дефицитности ресурсов, показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная прибыль от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на 1 единицу. Т.е. в рассмотренном примере при увеличении (уменьшении) запаса ресурса «суфле» на 1 единицу максимальная прибыль увеличится (уменьшится) на 500 руб., а при увеличении (уменьшении) запаса ресурса «взбитые сливки» на 1 единицу максимальная прибыль увеличится (уменьшится) на 250 руб. В оптимальный план производства входят те виды продукции, для которых затраты на ресурсы не превышают цену реализации.

Пример 10. Оценить целесообразность включения в план производства третьего вида десерта, если:

А) на производство 1 кг будет затрачено 0,2 кг суфле, 0,3 кг взбитых сливок и 0,5 кг клубничного джема, а цена реализации равна 200 руб.

Вычислим затраты на ресурсы для производства единицы этой продукции и сравним значение с ценой реализации: . Следовательно, следует рассмотреть вариант выпуск данной продукции и снова решить задачу оптимизации.

Б) на производство 1 кг будет затрачено 0,35 кг суфле, 0,25 кг взбитых сливок и 0,4 кг клубничного джема, а цена реализации равна 220 руб.

Вычислим затраты на ресурсы для производства единицы этой продукции и сравним значение с ценой реализации: . Следовательно, выпуск данной продукции не является целесообразным.