2. Двойственные задачи

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной, или сопряженной по отношению к исходной. Понятие двойственности взаимно. Теория двойственности позволяет провести полезные качественные исследования задач линейного программирования. В зависимости от вида исходной задачи различают симметричную, несимметричную и смешанные пары двойственных задач.

Напомним правила составления двойственных задач. Таблицы соответствия исходных и двойственных задач рекомендуется посмотреть в учебном пособии (курсе лекций) «Методы оптимальных решений)

Симметричная пара

1. В исходной задаче знаки неравенств системы m ограничений приводятся к единому виду: «≤» в задаче на максимум и «≥» в задаче на минимум.

2. Каждому ограничению исходной задачи ставится в соответствие двойственная переменная y_i, i=1, 2, …m.

3. Составляется целевая функция Z от переменных y_i (i=1, 2, …m), коэффициентами которой будут свободные члены системы ограничений исходной задачи. Цель меняется на противоположную.

4. Составляется система ограничений двойственной задачи. Матрицу коэффициентов системы ограничений двойственной задачи получают транспонированием матрицы коэффициентов исходной задачи. Знаки неравенств системы ограничений двойственной задачи противоположны знакам неравенств в исходной задаче. Свободными членами неравенств системы ограничений являются коэффициенты целевой функции исходной задачи. Переменные y_i (i=1, 2, …m) неотрицательны.

Пример 7. Исходная задача (см. математическую модель примера 2): Найти значения переменных х₁, х₂, удовлетворяющие условиям:

(2.1)

при которых целевая функция принимает минимальное значение.

Составим двойственную задачу.

Найти значения переменных y₁, y₂, y₃, удовлетворяющие условиям

(2.2)

для которых функция принимает наибольшее значение.

Несимметричная пара

1. Если система ограничений исходной задачи состоит из уравнений, то соответствующие им двойственные переменные произвольны по знаку.

2. Если переменные x_j (j=1, 2, …n) исходной задачи неотрицательны, то ограничения двойственной задачи имеют вид неравенств со знаком «≤» для задачи на максимум и «≥» для задачи на минимум.

3. Далее построение двойственной задачи выполняется как для симметричной пары.

Пример 8. Исходная задача (см. математическую модель примера 6): найти значения переменных x₁, x₂, x₃, x₄, для которых функция принимает наименьшее значение при ограничениях:

(2.3)

Составим двойственную задачу.

Найти значения переменных y₁, y₂, y₃, удовлетворяющие условиям

(2.4)

для которых функция принимает наибольшее значение.

Смешанная пара

1. Если система ограничений исходной задачи содержит как уравнения, так и неравенства, то при построении двойственной задачи придерживаются следующего правила. Если двойственная переменная поставлена в соответствие ограничению-неравенству, то она неотрицательна, если уравнению, то переменная произвольна по знаку.

2. Если переменная исходной задачи неотрицательна, то ей ставится в соответствие ограничение–неравенство, если переменная произвольна по знаку, то соответствующее ей ограничение является уравнением.

3. Далее построение двойственной задачи выполняется как для симметричной пары.