5.3. Несовершенное сжатие струи
Расход жидкости в этом случае равен
,
(4.8)
а расчетный напор
.
Встречаются случаи, когда отверстие какой-либо частью своего периметра непосредственно примыкает к стенке сосуда и сжатие на этой части периметра вообще не устраняется. Такое сжатие называется неполным. Коэффициент расхода при неполном сжатии определяется по формулам:
- для круглых отверстий
;
(4.9)
- для прямоугольных отверстий
.
(4.10)
Здесь
– коэффициент расхода при совершенном
сжатии; а
– часть периметра отверстия, где
устранено сжатие, т.е. где отверстие
соприкасается со стенкой; p
– полный периметр отверстия.
Истечение при переменном напоре
Задача об истечении жидкости при переменном напоре обычно сводится к определению времени опорожнения или наполнения всего сосуда или некоторой его части в зависимости от начального наполнения, формы и размеров сосуда и отверстия.
В этом случае в отличие от рассмотренных задач истечения вследствие непрерывного изменения напора и, следовательно, непрерывного изменения скоростей и давлений всегда имеет место неустановившееся движение жидкости, что делает неприемлемым обычное уравнение Бернулли. Поэтому при решении таких задач полное время истечения разделяют на бесконечно малые промежутки, в течение каждого из которых напор считают постоянным, а движение жидкости установившемся. Это позволяет использовать для решения полученные выше зависимости и приводит к достаточно точным результатам.
Рассмотрим простейший пример истечения жидкости в атмосферу через данное отверстие площадью из открытого цилиндрического сосуда одинакового по всей высоте поперечного сечения S (рис.4.4).
Рис. 4.4. К определению времени опорожнения сосуда
Элементарный объем жидкости dQ, прошедшей через отверстие за бесконечно малый промежуток времени dt, будет составлять
,
где H – некоторое положение уровня жидкости в сосуде, который приближенно можно полагать постоянным; – коэффициент расхода, зависящий от напора, формы и размеров отверстия.
Однако,
в действительности за время dt
уровень жидкости в сосуде опустится на
dH
и объем жидкости в нем изменится на
величину
(знак «–» показывает, что с течением
времени H
уменьшается, следовательно, dH
будет отрицательным).
Вследствие неразрывности течения
или
,
откуда
.
(4.11)
Полное время опорожнения сосуда определяется в результате интегрирования выражения (4.11)
.
Меняя
пределы интегрирования в правой части
уравнения, принимая
и вынося постоянные за знак интеграла,
будем иметь:
,
что после интегрирования приведет к следующему окончательному выражению:
.
(4.12)
Можно
заметить, что при сохранении постоянного
уровня в сосуде тот же объем жидкости
пройдет через отверстие за время
,
вдвое меньше t.
Действительно, поскольку полный объем
жидкости в сосуде
,
а секундный расход при
,
то
.
(4.13)
Формула (4.12) применима также к случаю истечения из отверстия в боковой стенке сосуда. В этом случае напор отсчитывается от геометрического центра тяжести отверстия.
Если
требуется определить время, необходимое
для понижения жидкости в сосуде на
некоторую величину от
до
исходят из того же уравнения (4.11),
интегрируя его в пределах от
до
.
При этом
.
(4.14)
В
общем случае, когда поперечное сечение
сосуда изменяется по высоте, выведенные
выше формулы неприменимы, так как в
уравнении (4.11) площадь S
– переменная величина. Тогда надо знать
закон
изменения площади поперечного сечения
сосуда в зависимости от величины H.
Уравнение (4.11) при этом приводится к виду
.
(4.15)
Для сосудов геометрически правильной формы (шар, горизонтальный цилиндр) интегрирование уравнения (4.15) выполняется без особых затруднений. Если сосуд имеет неправильную форму, интегрирование производится численными или графическими методами.