Пример.

Пусть d экспертов произвели оценку m объектов по l показателям. Результаты оценки представлены в виде величин ( ), где s – номер эксперта, i – номер объекта, h – номер показателя (признака) сравнения.

Если оценка объектов произведена методом ранжирования, то величины ( ) представляют собой ранги.

В этом случае задачей обработки является построение обобщенной ранжировки по индивидуальным ранжировкам экспертов.

Для простоты рассмотрим вначале случай одного признака сравнения, поэтому индекс h у величин опустим. Каждую ранжировку можно представить в виде матрицы парных сравнений с элементами, определяемыми по правилу

(4.1)

где x_is и x_ks – ранги, присваиваемые s-м экспертом i-му и k-му объектам. Пусть, например, дана ранжировка одним экспертом (s = 1).

~

Тогда матрица парных сравнений для этой ранжировки имеет вид:

	О1	О2	О3	О4	О5
О1	1	1	1	1	1
О2	0	1	1	1	1
О3	0	1	1	1	1
О4	0	0	0	1	1
О5	0	0	0	0	1

Если имеется d экспертов, то каждый эксперт дает свою ранжировку, которой соответствует матрица сравнений. Таким образом, количество матриц парных сравнений равно числу экспертов.

Введем расстояние (метрику) между матрицами парных сравнений, которое будем вычислять по формуле (метрика Хэмминга)

(s, l = 1,2, …. d) (4.2)

Используя эту метрику, определим обобщенную ранжировку как такую матрицу парных сравнений, которая наилучшим образом согласуется с матрицами парных сравнений, получаемыми из ранжировок экспертов. Понятие наилучшего согласования на практике чаще всего определяют как медиану.

Медиана есть такая матрица парных сравнений, сумма расстояний от которой до всех матриц парных сравнений, получаемых экспертами, является минимальной.

(4.3)

Построение матрицы парных сравнений, соответствующей медиане, осуществляется по принципу простого большинства голосов экспертов для каждого элемента матрицы. Модуль разности переменных в (4.3) равен либо единице, либо нулю, поэтому модуль разности равен квадрату этой разности. Следовательно, вместо выражения (4.3) можно записать

(4.4)

Возводя члены в круговой скобке в квадрат, и учитывая, что квадрат переменной равен самой переменной, получаем

(4.5)

Суммируя вначале по индексу s и вводя обозначение

(4.6)

получаем из (4.5)

(4.7)

Первая сумма в квадратной скобке постоянна и не зависит от переменной y_ik. Поэтому минимум квадратной скобки в (4.7) соответствует максимуму второй суммы. Следовательно,

(4.8)

Максимум по переменным y_ik, принимающим значение 0,1, достигается при следующем правиле решения:

(4.9)

где d – количество экспертов.

Величины a_ik в соответствии с (4.6) представляют собой количество голосов, поданных экспертами за предпочтение i-го объекта k-му объекту. Поэтому в обобщенной матрице парных сравнений в соответствии с оптимальными правилами решения (4.8) в ik-м элементе ставится единица, т.е. принимается что , если больше половины экспертов высказались за это предпочтение. Таким образом, все элементы обобщенной матрицы парных сравнений определяются по правилу большинства голосов.