3. Ряды фурье

3.1. Ряды и коэффициенты Фурье

Определение 1. Разложение функции f(x) в ряд по тригонометрической системе функций cos0x, cosx, sinx,  называется тригонометрическим рядом Фурье.

Это разложение имеет вид

,

где a_n, b_n называются коэффициентами Фурье для функции f(x) и являются функциями дискретного аргумента п = 0, 1, 2, 3, .

Найдём формулы для вычисления этих коэффициентов.

1. Умножим обе части равенства на cos0x и проинтегрируем на отрезке [, ]. В силу ортогональности системы все слагаемые суммы обратятся в ноль, кроме одного, при n = 0:

2. Умножим на cosnx и проинтегрируем на [, ]. Опять же в силу ортогональности получим

3. Умножив (на sinnx и проинтегрировав, получим

Получаем: ,

,

Другая форма записи:

, , , .

Найти ряд Фурье для функции – значит: найти коэффициенты Фурье этой функции по формулам и записать тригонометрический ряд с этими коэффициентами.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = х на [, ].

Решение. По определению модуля

Следовательно,

Воспользовавшись свойством аддитивности определённого интеграла, найдём коэффициенты разложения

интегрируем по частям:

=

интегрируем по частям:

=

В итоге

3.2. Условия и теорема Дирихле

Выясним вопрос о том, в каких случаях ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции.

Теорема Дирихле. Пусть на отрезке [, ] задана ограниченная функция f(x), удовлетворяющая на этом отрезке следующим двум условиям:

1. Функция f(x) непрерывна или кусочно-непрерывна, т. е. имеет на этом отрезке лишь конечное число точек разрыва, причём только первого рода.

2. Функция f(x) монотонна или кусочно-монотонна, т. е. этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых функция f(x) монотонно возрастает, или убывает, либо остаётся постоянной.

Тогда такая функция f(x) разлагается в соответствующий ей тригонометрический ряд Фурье, который сходится на этом отрезке, причём:

1) в каждой точке х = х₀ непрерывности функции f(x) сумма ряда S(x) равна значению функции f(x) в этой точке:

2) в каждой точке х = х₁ разрыва функции f(x) сумма ряда равна среднему арифметическому односторонних пределов функции в этой точке:

3) в точках х =   и х =  (на границах отрезка) сумма ряда равна среднему арифметическому правого предела f(x) в точке х =   и левого предела f(x) в точке х =  :

4) на всяком конечном отрезке, свободном от точек разрыва функции f(x), ряд равномерно сходится к f(x).

Теорема Дирихле даёт достаточные условия разложимости функции f(x) в тригонометрический ряд. Условия 1 и 2 теоремы называются условиями Дирихле.

Замечание. Сумма ряда

есть периодическая функция с периодом Т = 2. Она определена на всей числовой оси, но описывает разлагаемую функцию f(x) только на сегменте [, ], поскольку за его пределами сумма ряда повторяет свои значения как периодическая функция, а значения функции f(x) не подчинены такому закону.

Вернёмся к примеру 1 и проверим выполнение условий теоремы Дирихле для функции у = | х | на сегменте [, ].

1 . Построим график и убедимся, что функция непрерывна и кусочно-монотонна (см. рис. 1).

2. Вычислим значения суммы ряда в конечных точках отрезка [, ]:

т. е. на концах отрезка значения суммы ряда и функции одинаковы.

3. В точках непрерывности функции сумма ряда и значения функции должны совпадать.

Проверим это утверждение например для точки :

т. е. утверждение теоремы действительно выполняется:

4. Построим частичные суммы ряда (см. рис. 1):

последнюю сумму строим методом суперпозиций:

— ориентировочные точки.

К ак видим, уже S₁(x) довольно хорошо заменяет (апроксимирует) функцию у = | х |. Безусловно, взяв большее число слагаемых, построив S₂(x), S₃(x), …, мы получим более точную апроксимацию нашей функции тригонометрическим рядом.

5. Используем ещё раз утверждение теоремы Дирихле: S(x₀) = f(x₀), если х₀ — точка непрерывности функции, подсчитаем значение функции и суммы ряда в точке х = 0; в силу их равенства получаем

Поскольку числовой ряд в правой части равенства — сходящийся (проверьте самостоятельно), его сумма конечна и мы сейчас её вычислим:

Таким образом, используя разложение какой-либо функции в ряд Фурье, можно вычислять точные суммы сходящихся числовых рядов. Для этого достаточно выбрать точку х₀ непрерывности функции в интервале разложимости функции в ряд Фурье, затем использовать условие f(x₀) = S(x₀).