2.5. Приложения рядов к приближённым вычислениям

Прежде, чем решать задачи, перечислим эталонные ряды, полученные в предыдущих пунктах:

Пример 14. Вычислить ln3 с точностью до 10^3.

Решение. Предварительно заметим, что представление

приведёт нас к расходящемуся числовому ряду, т. к. х = 2 не принадлежит интервалу сходимости (1, 1) ряда Маклорена функции ln(1 + х), а, значит, его частичная сумма не будет представлять сумму ряда.

Воспользуемся представлением откуда Подставим в разложение

Для оценки погрешности составим ряд, представляющий убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем

При этом выполняются условия: члены обоих рядов монотонно убывают и bn > an:

Остаток rn вычислим как сумму геометрической прогрессии с первым членом

62

Значит, для требуемой точности мы можем взять следующие первые слагаемые:

При вычислении достаточно брать четыре знака, результат округлить до трёх знаков после запятой:

Пример 15. Вычислить с точностью 103.

Решение. Воспользуемся биномиальным рядом

сходящимся в интервале (1, 1).

Чтобы число, подставленное в ряд, принадлежало интервалу сходимости, извлечём целую часть корня

где

Подставляя в разложение получим выражение данного числа в виде ряда

Поскольку числовой ряд – знакочередующийся, для достижения требуемой точности достаточно оценить первый отброшенный его член, проверим четвёртый:

значит, можно ограничиться первыми тремя слагаемыми.

Итак,

Пример 16. Вычислить с точностью до 10^3 интегралы:

16.1. 16.2.

Решение

16.1. Найти точное значение интеграла, применив формулу Ньютона-Лейбница, в этом случае нельзя, т.к. первообразная не выражается через элементарные функции. Поэтому разложим функцию в ряд, заменив в эталонном ряде (10.21) х на х2:

он сходится на всей числовой оси. Следовательно, его можно почленно интегрировать на любом промежутке, в результате получим

Интеграл равен сумме найденного знакочередующегося ряда, для которого выполняются условия теоремы Лейбница, поэтому остаток ряда, полученного в результате почленного интегрирования, не превосходит первого из отброшенных членов. Так как то с точностью до 0,001 имеем

16.2. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем, в силу его равномерной сходимости, проинтегрируем почленно. Используем эталонный ряд, сходящийся для х  (, ):

Тогда

Полученный числовой ряд – знакочередующийся, следовательно, для достижения требуемой точности, по следствию теоремы Лейбница, достаточно оценить первое отброшенное слагаемое; т.к.

то достаточно взять первые три члена разложения:

2.6. Решение задачи Коши с помощью степенных рядов

Напомним формулировку теоремы Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка:

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D плоскости хоу и имеет там ограниченную производную , то в каждой внутренней точке существует функция , и притом единственная, удовлетворяющая уравнению и условию , т.е. где

Функция (х), удовлетворяющая начальным условиям называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка.

Метод основан на последовательном дифференцировании исходного уравнения и применении ряда Тейлора:

при условии, что х₀ = 0 и у₀ = у(0) или

если х = х₀ и у₀ = у(х₀), причём полученное разложение как решение задачи Коши существует, и единственно.

Ищем коэффициенты ряда Тейлора: у(х₀) = у₀ по условию. Подставив у₀ в уравнение (10.27), найдём у(х₀) = f(х₀, у₀).

Следующий коэффициент ряда у(х₀) найдём, дифференцируя уравнение (10.27) как функцию двух переменных

и т. д.

Пример 17. Решить уравнения. Найти первые пять членов разложения:

17.1. 17.2.

Решение. Ищем решение задачи Коши в виде ряда

17.1. Коэффициент у(0) = 0 по условию. Подставляя начальные условия в дифференциальное уравнение, имеем

Дифференцируем уравнение и вычисляем последующие коэффициенты:

На этом остановимся, поскольку по условию необходимо найти только пять ненулевых членов ряда.

Итак, решение имеет вид

или

17.2. где у(0) = 1 по условию;

Итак,

или