2.4. Разложение функций в степенные ряды
Сумма
всякого сходящегося степенного ряда
является некоторой функцией, определённой
внутри интервала сходимости этого ряда
(возможно ещё и на его концах). В связи
с этим возникают две задачи. Во-первых,
можно по заданному ряду искать функцию,
равную сумме ряда в интервале его
сходимости. Эта задача называется
суммированием сходящегося ряда.
Во-вторых, можно по заданной функции
искать сходящийся ряд, сумма которого
в интервале сходимости равнялась бы
заданной функции. Эта задача называется
разложением функции в ряд. Решением
последней задачи мы и займёмся в этом
параграфе. Наряду со степенными рядами
относительно переменной х, т.е.
рядами вида
,
будем
рассматривать также ряды типа
Ясно,
что подстановкой у = х с
второй из этих рядов превращается в
первый. Поэтому если ряд
сходится при
,
то по тем же причинам интервал сходимости
второго ряда состоит из всех точек у,
для которых
,
или
,
т.е. интервал сходимости ряда типа
получается
путем сдвига интервала сходимости ряда
(10.3) на с вправо при с положительном
(если с < 0, то влево).
Определение
7. Представление функции f(х)
в виде ряда
называется
разложением этой функции в ряд Тейлора.
В
частности, при с = 0 разложение в
ряд Тейлора называется разложением в
ряд Маклорена:
Не всякую функцию, даже если она неограниченное число раз дифференцируема, можно разложить в ряд Тейлора. Однако, если разложение функции в какой-либо степенной ряд вообще возможно, то оно является разложением именно в ряд Тейлора.
Правила разложения функции в ряд Тейлора:
1) найти все производные функции, найдя выражения для п-ой производной;
2) вычислить все производные в рассматриваемой точке х = с;
3) подставить значения производных в формулу (10.17);
4) найти все значения х, при которых полученный ряд сходится;
5)
оценить остаточный член, проверив
выполнение условия
Пример 9. Разложить функцию у = lnx в окрестности точки с = 1 (без оценки остаточного члена).
Решение. Найдём значение функции и её производных при х = 1:
;
;
;
;
,
Подставив эти значения в формулу (10.17), получим разложение функции y = lnx по степеням (х – 1):
.
Найдём радиус сходимости данного ряда:
,
т.е.
ряд сходится при
или
.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. При х = 0 получим положительный числовой ряд
,
который расходится, т.к. является гармоническим рядом, умноженным на (1). При х = 2 имеем знакочередующийся числовой ряд
,
который сходится условно (по теореме Лейбница). Таким образом, исходный ряд сходится к функции y = lnx при x (0, 2].
Пример 10. Разложить в ряд Маклорена:
10.1. у = ех; 10.2. у = sinx; 10.3. y = cosx.
Решение. Необходимо получить ряд вида
10.1. Найдём все производные функции f(x) = ex:
Вычислим функцию и производные при х = 0:
Подставим эти значения в формулу
Определим интервал сходимости по признаку Даламбера:
т.е.
ряд сходится на всей оси:
10.2. Найдём все производные функции y = sinx и вычислим их в точке x = 0:
Записываем разложение:
Этот ряд сходится для всех х (, ). Сделаем проверку по признаку Даламбера:
Оценим остаточный член:
где
последний множитель
— величина, ограниченная для любых п
и х; дробь мы оценили в предыдущем
примере.
Итак,
10.3.
Разложение функции f(x) = cosx
можно получить, используя алгоритм
предыдущих пунктов, но рациональнее
воспользоваться операцией дифференцирования,
поскольку
Почленно дифференцируем ряд
Полученный ряд сходится при х (, ).
Замечание. Считается 0! = 1.
Очевидно (по аналогии с предыдущим примером),
Пример
11. Разложить функцию
в окрестности точки с = 2.
Решение. Преобразуем исходную функцию к виду
.
Используя эталонное разложение получим
Полученный ряд сходится при
.
Пример
12. Разложить
по степеням (х + 1).
Решение.
Представим
.
Заменив в разложении (10.21) х на 2(х + 1), получим
Тогда
Полученный
ряд сходится к функции
,
если
,
т.е. при
.
Получим
ряд Маклорена для функции
bvttv
который сходится в интервале (1, 1).