2.3. Степенные ряды

Определение 5. Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,

где — постоянные числа, называемые коэффициентами ряда, которые вычисляются по формуле а_п = (п).

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.

Теорема 2 (Абеля). Если степенный ряд сходится при некотором значении , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении х, для которого .

Если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком х, для которого (см. рис..2).

Определение 6. Если на оси ох существует точка х = R > 0 (см. рис. 10.3), такая, что:

 ряд сходится для всех х : х < R ,

 ряд расходится для всех х : х > R,

то интервал (R, R) называется интервалом сходимости ряда (10.3), а число R называется радиусом сходимости ряда. Точка х = 0 при этом называется центром сходимости.

На концах промежутка в точках х = R ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для определения радиуса, а значит, и интервала сходимости используют уже известные нам признаки Даламбера и Коши. Покажем это.

Рассмотрим ряд

и ряд, составленный из абсолютных величин, т. е. ряд с положительными членами

Применим к последнему признак Даламбера:

По теореме Даламбера

Пусть z  x < 1. Тогда ряд (10.9), а с ним (по теореме сравнения) и ряд сходится для всех т.е. на интервале . Но для всех , т. е. для оба ряда расходятся, значит, — радиус сходимости, и найти его можно, вычислив предел

Для нахождения радиуса сходимости можно использовать и признак Коши, применявшийся ранее для знакоположительных числовых рядов:

В нашей ситуации

т. е. ряд (10.3) сходится для всех и расходится, если

,

Отметим частные случаи:

1) R = 0, степенной ряд сходится в единственной точке х = 0 и расходится на обеих полуосях оси ох;

2) R = , ряд сходится в любой точке оси ох: х  (, );

3) центром сходимости является какая-либо точка х = х₀. Тогда имеем степенной ряд

.

Применим признак Даламбера:

В этом случае, выполняя обычную процедуру исследования по теореме Даламбера, получаем интервал сходимости (x₀ – R, x₀ + R), смещённый относительно начала координат. Исследование сходимости ряда в конечных точках x = R интервала сходимости (R, R), если это требуется по условию задачи, проводится отдельно. Подставляя значения х₁ = R, x₂ = R в исходный ряд, исследуем сходимость соответствующих числовых рядов, предварительно классифицируя их, т. к. выбор метода исследования зависит от того, какой ряд будет получен: знакоположительный либо знакочередующийся. И если к знакоположительным рядам можно применить несколько различных методов исследования на сходимость, то знакочередующийся ряд исследуется только с помощью теоремы Лейбница.

Пример 4. Найти радиус и интервал сходимости степенных рядов. Выяснить сходимость на концах интервала сходимости:

4.1 ; 4.2.

4.3. 4.4.

Решение

4.1. Используем признак Даламбера:

, ;

соответственно радиус сходимости

.

Следовательно, данный ряд сходится при .

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При х = 2 наш ряд принимает вид — это гармонический ряд, он расходится. Следовательно, точка х = 2 не входит в область сходимости ряда. При имеем

;

это знакочередующийся ряд, он сходится условно, т. к. выполняются условия теоремы Лейбница:

1)

2)

Значит, точка х = 2 принадлежит области сходимости степенного ряда. Окончательно: ряд сходится для всех х  [2, 2).

4.2. Применим признак Коши:

Ряд сходится, если

Радиус сходимости R = e, интервал сходимости 0 < x < 2e.

Исследуем сходимость в точках х = 0, х = 2е. Подставляя в исходный ряд х = 0, получим знакочередующийся числовой ряд

Исследуем его по признаку Лейбница:

Ряд расходится.

Подставив в исходный ряд значение х = 2е, получим числовой знакоположительный ряд с общим членом

Его предел мы уже вычислили:

т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, числовой ряд расходится. Степенной ряд сходится только во внутренних точках интервала (0, 2e).

4.3.  . Используем признак Даламбера:

,

,

т.е. наш ряд расходится при всех значениях х, кроме х = 0.

4.4. Найти область сходимости ряда .

Решение. Найдём радиус сходимости, применив признак Даламбера:

, ,

.

Следовательно, данный ряд сходится при , или

Исследуем исходный ряд на сходимость в конечных точках интервала сходимости.

При х = е  1 имеем числовой положительный ряд

Для данного ряда не выполняется необходимый признак:

формула Стирлинга

.

Следовательно, при исходный ряд расходится.

При получаем знакочередующийся ряд

,

который также расходится, поскольку .

В итоге ряд сходится при (область сходимости совпала с интервалом сходимости).