2. Функциональные ряды

2.1. Определение, область сходимости

Определение 1. Выражение

называется функциональным рядом относительно переменной х.

Придавая в выражении переменной х некоторые значения и т.д., мы будем получать числовые ряды

В зависимости от значения, принимаемого переменной х, числовые ряды могут оказаться сходящимися или расходящимися.

Определение 2. Совокупность всех значений переменной х, для которых ряд сходится, называется областью сходимости данного функционального ряда.

Если значение х₀ переменной х принадлежит области сходимости функционального ряда, то можно говорить о сумме этого функционального ряда в точке х = :

Таким образом, значение суммы функционального ряда зависит от значения переменной х, т.е. сумма функционального ряда сама является функцией переменной х. Областью определения суммы функционального ряда является область сходимости этого ряда.

Определение 3. Если ряд сходится в интервале (a, b), то для всех х из (a, b) существует предел где S_n(x) — частичная сумма,S(x) — сумма ряда.

Пример 1. Дан функциональный ряд. Найти его сумму.

1.1. ;

1.2.

1.3. для х > 0.

Решение:

1.1. Этот ряд является геометрической прогрессией со знаменателем q = x. Прогрессия будет убывающей, если |q| = |x| < 1, и в этом случае можно вычислить её сумму. Напомним:

если |q| < 1.

Таким образом, в интервале (1, 1) данный ряд определяет функцию которая является суммой ряда

,

где (1, 1) – интервал сходимости ряда, на концах интервала и вне его ряд расходится, хотя функция разрывна только в точке х = 1

1.2. Составим частичную сумму и раскроем скобки:

Если отбросить первое слагаемое х в исходном ряде, то остаток R(x) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q = x, которая сходится при |q| = |x| < 1:

причём левая часть равенства (а следовательно, и правая) обращается в нуль при х = 1, т.е. сумма остатка ряда в точке х = 1 существует и равна нулю.

Итак, если то если же х = 1, S_n(1) = 1.

Делаем вывод о сумме ряда:

Сумма ряда разрывна в точке х = 1, хотя члены ряда – непрерывные функции.

1.3. Составим частичную сумму ряда и преобразуем её:

Вычислим сумму ряда. Согласно определению

Как видим, функция определена всюду, кроме значения х = 0, а члены функционального ряда

есть непрерывные функции при всех положительных значениях аргумента, т. е. х  (0, ), значит, S(x) = f(x) только при х  (0, ).

2.2. Равномерная сходимость функционального ряда.

Признак Вейерштрасса

Рассмотрим подробнее вопрос о сходимости функционального ряда.

Пусть ряд

сходится в интервале (a, b). Это значит, что для любого х = х₀ из (a, b) существует сумма ряда где S_п(x₀) – частичная сумма ряда в точке x₀.

По основной теореме математического анализа о существовании предела функции (или последовательности) разность, называемая остатком ряда,

является бесконечно малой величиной, т.е.

Последнее равенство обозначает, что для всякого  > 0 найдётся такой номер N(, x0), что при всех n > N выполняется неравенство

Очевидно, в общем случае номер N будет разным для каждого x  (a, b), т. е. быстрота стремления R_п(x₀) к нулю (или S_п(x₀) к S(x₀)) будет разной.

Если удаётся для какого-то ряда найти число N = N(), не зависящее от выбора x₀, т.е. единое для всех х из интервала сходимости, то говорят, что этот ряд сходится равномерно.

Определение 4. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в интервале (a, b), если для любого как угодно малого  > 0 найдётся такой номер N, что при всех n  N будет выполняться неравенство одновременно для всех х из (a, b); S(x) – сумма функционального ряда, — его частичная сумма.

Данное определение проиллюстрируем геометрически.

Рассмотрим график функции (см. рис 1).

П остроим около этой кривой полосу шириной , т.е. построим кривые и . Тогда при любом график функции будет целиком лежать в рассматриваемой полосе. В этой же полосе будут лежать графики и всех последующих частичных сумм.

Теорема 1 (признак равномерной сходимости Вейерштрасса).

Функциональный ряд каждый член которого является функцией, определённой на интервале (a, b), сходится равномерно на этом интервале, если существует последовательность положительных постоянных, такая, что для любых и любого номера , а ряд сходится.

Ряд называется мажорируемым, а ряд мажорирующим, или мажорантой.

На практике применение признака Вейерштрасса сводится, таким образом, к нахождению мажорантного ряда.

Пример 2. Функциональный ряд

в качестве мажорирующего имеет числовой сходящийся ряд в силу неравенства

Вывод: функциональный ряд сходится равномерно для всех вещественных х, потому что при всех х и п справедливо неравенство

.

Перечислим свойства равномерно сходящихся рядов.

1. Если члены ряда – непрерывные функции на отрезке и ряд сходится равномерно на этом отрезке, то его сумма есть непрерывная функция на .

2. Если ряд равномерно сходится на и имеет сумму , а его члены — непрерывные функции на , то этот ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке , т.е. .

3. Пусть ряд сходится на [a,b], функции непрерывны на [a,b], а ряд сходится равномерно для . Тогда ряд можно почленно дифференцировать на отрезке [a,b], т.е. справедлива формула или , где — сумма ряда (10.1).

Пример 3. Найти сумму функционального ряда

Решение. Продифференцируем данный ряд почленно:

Полученный ряд сходится равномерно при , т к. представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем и суммой Вернёмся к исходному ряду, выполнив обратную процедеру: проинтегрируем последний ряд почленно на отрезке [0, х], где |х| < 1:

или

+ .

Итак, исходный ряд равномерно сходится на интервале (1, 1) и его сумма равна

.

Таким образом, зная сумму эталонного ряда, можно находить суммы других рядов, интегрируя или дифференцируя либо эталонный ряд, либо исходный, иногда эти операции приходится выполнять по несколько раз.