1.4. Ряды с произвольными членами
Рассмотрим знакопеременные ряды, т. е. ряды, у которых бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов.
Наряду
со знакопеременным рядом
будем
рассматривать ряд, составленный из
абсолютных величин
.
Теорема 11. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Если сходится ряд , то сходится и ряд , причём абсолютно.
Определение. Ряд с произвольными членами называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд . Если же ряд сходится, а ряд расходится, то говорят, что ряд сходится условно.
Рассмотрим частный случай знакопеременных рядов — знакочередующиеся ряды.
1.5. Знакочередующиеся ряды
Определение. Ряд называется знакочередующимся, если его положительные и отрицательные члены строго чередуются.
Не нарушая общности, будем считать, что первый член ряда — положительный. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде
,
где ап 0, п = 1, 2,….
Теорема Лейбница (признак сходимости знакочередующихся рядов). Если члены знакочередующегося ряда начиная с некоторого номера,
1) монотонно убывают по абсолютной величине ап ап+1 и 2) ,
то ряд сходится, причём его сумма меньше первого члена ряда.
Следствие из признака Лейбница. Остаток ряда лейбницевского типа имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.
Это утверждение (легко доказываемое) используется для оценки погрешности в приближённых вычислениях суммы сходящегося ряда, когда сумму ряда заменяем его частичной суммой:
Sn
S,
,
где остаток ряда
Пример 11. Исследовать на сходимость ряды:
11.1.
;
11.2.
Решение
11.1. Проверим выполнение условий теоремы Лейбница:
,
т. к.
(при равных числителях знаменатель
правой дроби больше). Условия теоремы
выполняются, следовательно, ряд сходится
по признаку Лейбница.
Установим вид сходимости. Составим ряд из абсолютных величин:
Получили гармонический ряд, который расходится, следовательно, данный знакочередующийся ряд абсолютно расходится, но сходится условно.
11.2. Проверим выполнение условий Лейбница:
|
Ряд сходится по признаку Лейбница. |
Установим вид сходимости. Исследуем сходимость знакоположительного ряда
.
Сравним
его с рядом
,
который сходится как обобщённый
гармонический ряд (
= 2 < 1). Но
,
следовательно, и ряд
с меньшими членами сходится по признаку
сравнения. Значит, данный знакочередующийся
ряд сходится абсолютно.
Пример 12.
Дан ряд
.
Оценить ошибку, допускаемую при замене
суммы этого ряда суммой первых четырёх
членов. Что можно сказать о знаке ошибки?
Решение. Прежде всего докажем, что данный ряд сходится и, стало быть, его сумма — конечное число, которое можно найти с любой степенью точности. Проверяем выполнение условий теоремы Лейбница:
1)
2)
т. е. an > an+1 — условия теоремы выполняются, ряд сходится.
Ошибку вычисления составляют члены ряда, отброшенные при вычислении суммы, т. е.
= u5 + u6 + = R4.
Оценим эту ошибку, используя следствие признака Лейбница
.
По этому же следствию заключаем, что знак (или знак R4) совпадает со знаком первого члена остатка ряда R4, т. е. со знаком пятого члена u5. Но u5 < 0, значит, и = R4 < 0.
Пример 13. Найти приближённо с точностью до 0,001 сумму ряда
.
Решение. Данный ряд знакочередующийся, поэтому можно использовать следствие признака Лейбница. Вычислим первые члены ряда:
По условию задачи должно быть 0,001. Оценим остаток ряда, который по следствию меньше своего первого члена
.
Таким образом, = R3, и для приближённого вычисления суммы ряда (с точностью до 0,001) достаточно взять сумму первых трёх членов ряда:
