1.3.1. Достаточные признаки сравнения знакоположительных рядов. Эталонные ряды
Пусть
имеем два знакоположительных ряда
и
где an 0, bn 0 для всех номеров n.
Теорема 6
(признак сравнения). Если, начиная
с некоторого номера (скажем, для n > N),
выполняется неравенство
,
то из сходимости ряда
следует
сходимость ряда
,
а из расходимости ряда
следует
расходимость ряда
Теорема 7
(предельный признак сравнения).
Пусть имеем два знакоположительных
ряда
и
.
Если существует конечный предел
,
то ряды
и
сходятся или расходятся одновременно.
Гармонический
ряд
расходится.
Обобщённый гармонический ряд
|
сходится
при
расходится
при
|
,
Геометрическая прогрессия
|
сходится
при
расходится
при
|
,
Пример 5. Установить сходимость (или расходимость) рядов:
5.1.
;
5.2.
;
5.3.
.
Решение
Первый способ. Используя теорему 6, сравним имеющийся ряд с эталонным рядом (9.5):
Это
убывающая геометрическая прогрессия
со знаменателем
,
сходящийся ряд (получен из данного ряда
отбрасыванием const = 1 в знаменателе дроби.
Очевидно, эта константа мало влияет на
величину дроби при достаточно больших
номерах п). Сравним по величине
,
,
т. к. знаменатель первой дроби больше,
а числители у них равны. Поэтому данный
ряд сходится.
Второй
способ. Сравним наш ряд со сходящимся
рядом
,
используя предельный признак сравнения
,
следовательно, данный ряд сходится.
Замечание. Проводя анализ величин общих членов сравниваемых рядов, можно выяснить знак разности между ними, например:
т.
е.
Сравним
ряд с гармоническим рядом
,используя
предельный признак сравнения
.
Вспомните первый замечательный предел
(в
нашем случае
),
следовательно, исходный ряд, как и
гармонический, расходится.
Сравним
ряд по предельному признаку сравнения
со сходящимся рядом
(эталонный ряд
):
.
Каждая
из дробей
стремится к нулю при п
, значит, данный ряд
сходится.
Замечание.
Поясним, почему для сравнения выбран
ряд
.
Общий член исходного ряда содержит
константы: единицу в числителе и тройку
в знаменателе, мало влияющие на его
величину при п достаточно больших, и мы
их отбросили.
1.3.2. Достаточные признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов
Теорема 8
(признак Даламбера). Пусть для
знакоположительного ряда
существует
предел
.
Тогда:
если
,
ряд сходится;если
,
ряд расходится;если
,
вопрос о сходимости ряда остаётся
открытым.
Пример 6.
Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Применим признак Даламбера:
,
,
где
0
< 1, ряд сходится.
Теорема 9 (признак Коши). Пусть для знакоположительного ряда существует предел
Тогда:
если l < 1, ряд сходится;
если l > 1, ряд расходится;
если l = 1, вопрос о сходимости ряда остаётся открытым.
Посмотрим применение теоремы на примерах.
Пример 7. Исследовать на сходимость ряды:
7.1.
7.2.
Решение. Используем признак Коши.
7.1.
,
ряд
сходится. При вычислении применили
второй замечательный предел
7.2.
,
ряд расходится.
Теорема
10 (интегральный признак Коши). Пусть
имеем знакоположительный ряд
,
члены которого стремятся к нулю, монотонно
убывая, т. е.
,
.
Пусть далее, на промежутке 1, ), функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:
1) f(x) 0,
2) f(x) непрерывна,
3) f(x) монотонно убывает,
4) f(n) = an, для целочисленных значений аргумента
х = n = 1, 2, 3, …
Тогда:
если
несобственный интеграл
сходится, то и ряд сходится;
если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.
Пример 8. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
Заметим сразу, что при = 1
имеем гармонический ряд
,
расходимость которого уже доказана.
Проверим его расходимость ещё раз,
применив теорему Коши:
Интеграл и ряд расходятся.
Пусть
1,
.
Составим функцию
и соответствующий несобственный интеграл
Таким образом, мы подробно исследовали ряд и теперь на полном основании можем использовать его как эталонный:
ряд
Пример
9. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Применим интегральный признак Коши. Проверим выполнение условий теоремы Коши:
члены
ряда
монотонно убывают. Покажем это, оценив
разность
Знаменатель дроби — величина положительная. Проверим знак числителя:
причём равенство нулю возможно только при п = 1, т.е. an+1 an < 0 для всех n > 1, или an+1 < an (последующий член меньше предыдущего).
Вывод: f(x) при x 1, ) удовлетворяет условиям:
1) f(x) 0,
2) f(x) непрерывна,
3) f(x) монотонно убывает,
4) 
если х = п.
Все условия теоремы выполнены. Вычисляем несобственный интеграл
Вывод: интеграл, а следовательно, и ряд, расходятся.
Замечание. 1) кроме рассмотренных признаков для знакоположительных рядов есть ещё много других признаков: Бертрана, Гаусса, Ермакова, Раабе;
2) при вычислении пределов в ходе исследования сходимости ряда можно использовать формулу Стирлинга, справедливую для больших п:
