1.2. Свойства числовых рядов

Теорема 1. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число первых членов или присоединить в его начале несколько новых членов, это не повлияет на сходимость ряда.

Теорема 2. Если члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то его сходимость не нарушится (а сумма лишь умножится на число с). Если члены расходящегося ряда умножить на одно и то же число с  0, то он по-прежнему будет расходиться.

Доказательство. Так как ряд сходится, то существует предел

Тогда для ряда предел п-ой частичной суммы подсчитается соответственно

,

что и означает сходимость последнего ряда, сумма которого равна с  S.

Если же ряд расходится и с  0, то для ряда имеем

(или не существует), так как (или не существует) в силу расходимости данного ряда. Значит последний ряд расходится.

Введём в рассмотрение числовой ряд .

Теорема 3. Пусть ряды и сходятся и имеют суммы соответственно Sa и Sb. Тогда ряд, полученный почленным сложением (или вычитанием) этих рядов,

или

также сходится и имеет сумму Sa + Sb или Sa  Sb.

Доказательство. Сложим (вычтем) ряды почленно и составим частичную сумму полученного ряда. Переходя к пределу, имеем

Таким образом, ряд сходится и его сумма равна

Sa  Sb.

Теорема 4 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то .

Пример 3. Исследовать гармонический ряд на сходимость.

Проверим выполнение необходимого признака сходимости

.

Признак выполняется.

Исследуем далее. Оценим сумму ряда. Сгруппируем члены ряда, начиная с третьего по 2, 4, 8, 16, …, , … членов:

>

> .

В каждой скобке у всех дробей заменим знаменатель наибольшим, тем самым уменьшив эти дроби.

Составляя сумму даже для этих уменьшенных членов, мы видим, что она неограниченно растёт при n  , т. е. гармонический ряд расходится (хотя ).

Пример 4. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для рядов:

; 4.2. .

Решение

4.1.  необходимое условие сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.

4.2. необходимое условие сходимости выполняется, но о поведении ряда пока ничего сказать не можем.

1.3. Ряды с положительными членами

Определение. Ряд все члены которого неотрицательны, называется знакоположительным.

Теорема 5 (критерий сходимости знакоположительных рядов). Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены сверху (в совокупности), т. е. М, п,.

Доказательство

Необходимость. Пусть положительный ряд (9.1) сходится. Это значит, что существует предел . Кроме того, последовательность частичных сумм {S_n} – возрастающая, т. к. ряд знакоположительный. Тогда S_n < S, т. е. последовательность {S_n} ограничена и роль числа М выполняет число S.

Достаточность. По условию члены последовательности частичных сумм S_n  М, т. е. последовательность {S_n} ограничена сверху. К тому же она монотонно возрастает, т. к. ряд — знакоположительный. Поэтому по теореме “всякая монотонно возрастающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел” существует , то есть рядсходится.

Все признаки сходимости и расходимости положительных рядов в конечном счёте основаны на этой простой теореме, но непосредственное её применение лишь в редких случаях позволяет судить о характере ряда.