3.7. Интеграл Фурье (как предельный случай ряда Фурье)

Всякую функцию f(x), удовлетворяющую условиям Дирихле, можно разложить на интервале (е, е) в тригонометрический ряд по формуле

где

Полученное разложение будет справедливо на всей оси ох, если функция f(x) = f(х + 2е), т. е. 2е-периодична.

Рассмотрим предельный случай, когда е  , т. е. непериодической функции, заданной для всех х  (, ).

Предположим, что:

 на всяком конечном отрезке оси ох функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле;

 сходится несобственный интеграл

(функция в этом случае называется абсолютно интегрируемой).

Сначала преобразуем формулу подставив в неё формулы коэффициентов:

затем используем свойство определённого интеграла (от суммы функций) и тригонометрическую формулу

,

Тогда

Оценим первое слагаемое выражения (11.22) при условии, что е  , используя сходимость несобственного интеграла:

Заметим, что

Для оценки второго слагаемого из при е  , введём новую переменную и, которая принимает значения членов арифметической прогрессии:

с разностью

Тогда

где

Переходя к пределу при е  , учитывая, что напоминает интегральную сумму, получим

Правая часть формулы называется двойным интегралом Фурье.

Нетрудно убедиться, что в формуле внутренний интеграл является чётной функцией переменной и, поэтому, используя свойства определённого интеграла, можно записать ещё один вид интеграла Фурье:

Перейдём к другой форме записи интеграла Фурье в виде однократного интеграла. Воспользуемся той же тригонометрической формулой и преобразуем формулу (11.23):

где

Пример 6. Представить интегралом Фурье функцию f(x) = e^x, 0 < x < , продолжив её на промежуток (. 0): а) чётным образом, б) нечётным образом.

Используя полученные формулы, вычислить интегралы

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема на интервале (0, ):

а) Продолжим функцию на интервал (. 0) чётным образом Новая функция также отвечает условиям Дирихле и абсолютно интегрируема на каждом конечном отрезке [x₁, x₂] оси ох, т. е. выполняются условия теоремы 2:

Воспользуемся формулами

где

Последний интеграл является циклическим, интегрируя дважды по частям, получим ответ. Можно воспользоваться готовой формулой (см. [3])

Подставив а = 1, b = u, получаем

Подставляем найденный коэффициент А(и) в первую из формул (11.26)

где f(x) = e^x по условию.

Записываем интеграл Фурье

, или

б) Продолжим функцию e^x нечётным образом (см. рис. 11.18). Функция нечётная, поэтому воспользуемся формулами (11.28). Найдём синус-преобразование Фурье:

при а = 1, b = u имеем

Искомый интеграл Фурье запишем по формуле

где f(x) = e^x по условию;

Теперь ответим на последний вопрос, выделив нужные интегралы из полученных формул, предварительно положив х = 1 в каждой из них. Тогда соответственно из пункта (а) имеем

откуда следует

из пункта (б) имеем

откуда следует

Мы получили числовые значения двух несобственных интегралов, тем самым доказав их сходимость.

Ахметжанова Галина Васильевна

Кошелева Наталья Николаевна

Павлова Елена Сергеевна

Теоретический материал

по модулю «Ряды»

учебно-методический материал для студента

Подписано в печать________. Формат

Печать оперативная. Усл. п. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,4

Тираж экз.

41